联考（二）数学（文科）答案及评分标准

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.

（1）答案：D

解析：

考点：复数的运算

（2）答案：C

解析：解
得
或者
；解
得

取交集可得答案

考点：解一元二次不等式、分式不等式，集合的运算

（3）答案：C

解析：以
为样本容量可计算出超过
用水量的户数为
所以可估算
户居民超过
用水量的户数
.

考点：统计.

（4）答案：C

解析：由圆心
到直线
的距离
，

∴

考点：直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式

（5） 答案：D

解析：

考点：诱导公式，框图

（6）答案：B

解析：函数
有两个极值点等价于
有两个根，所以
，即
或
；函数
在
上为增函数时，应有
，即
或
.由集合与充要条件的关系知是的必要不充分条件.

考点：极值、幂函数、充要条件

（7）答案：C

解析：解三角不等式
，故
，又
，故
，由
，得
，所以

，

考点：三角函数辅助角公式，解三角函数不等式，几何概型

（8）答案：A

解析：令
，（x>0）.则
在x>0时恒成立，所以
在
单调递增，故
.所以
在x>0时没有零点；
时，解得x=-1.综上：
只有一个零点.

考点：函数零点

（9）答案：C

解析：易知双曲线的右焦点为
，由抛物线的定义知
,所以
=到
的距离
.而
，从而
,
,故
的方程为：
.

考点：双曲线、抛物线的方程、定义和性质.

（10）答案：A

解析：因为
，使得不等式
成立

所以
，使得不等式
成立.

令
，则

因为
（当且仅当
时取等号），且

所以
，
在
上为减函数，所以

.

考点：存在性问题、利用导数求最值、基本不等式.

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.

(11) 答案：2.

解析：由题意可知，所求为半径
的球体的内接正方体的棱长，假设棱长为，则
，即
.

考点：三视图、组合体

(12) 答案：
.

解析：观察各个等式可以看到，等式左边为余弦的乘积，各个角分母为
，分子为π到
，等式右边为
.

考点：合情推理

(13) 答案：

解析：不等式组
所表示的区域为以
、
、
为顶点的三角形及其内部，取点
，则
表示可行域内任意一点
与
连线的斜率，结合图易知最小为0，最大为
.

考点：平面区域、斜率几何意义

(14) 答案：

解析：以
所在直线为轴，
所在直线为轴建立直角坐标系，则
、
、
运算可得
、
.所以
、
，从而
在
方向上的投影
.

考点：平面向量的坐标运算、数量积、投影.

(15) 答案：①②④

解析：对于任意
，都有
令
，又函数
是上的偶函数，则
，①正确；又当
且
时，都有
，则函数
在
上单调递增，又函数
是上的偶函数，函数
在
上单调递减，由①知，对于任意
，
，则函数
的最小正周期为4，画出函数
的大致图像，知直线
是函数
的图象的一条对称轴，②正确；函数
在
上为减函数，③错误；由周期性和奇偶性知，
=0，函数
在
上有四个零点，④正确；

考点：函数的单调性、奇偶性以及数形结合思想.

三、解答题：本大题共6个小题，共75分.

(16)答案：（Ⅰ）函数
的最小正周期
，单调增区间为

（Ⅱ）边BC的最小值为

解析：（Ⅰ）

……………………………………………2分

由图象上相邻三个最值点构成的三角形的面积为，得
…………4分

即
所以
即

所以函数
的单调增区间为
；……………………………6分

（Ⅱ）

又
………………………8分

设
中,角A、B、C所对的边分别为、
、，

则
即

由余弦定理得

=
…………………………11分

当且仅当
时等号成立

所以边BC的最小值为
……………………………………………………………12分

考点：诱导公式、降幂公式、三角函数性质、平面向量数量积、余弦定理、重要不等式.

(17)（Ⅰ）解：A班5名学生的视力平均数为
……………… 2分

B班5名学生的视力平均数为
. ……………… 3分

从数据结果来看A班学生的视力较好. ………………4分

（Ⅱ）解：B班5名学生视力的方差较大. ……………… 7分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，A班的5名学生中有2名学生视力大于
.记为

有3名学生视力不大于
.记为

从5名学生中随即选取3名,不同的选取方法有10种:

,
,
,
,
,
,

,,
,
,…………………………………………………10分

3名学生中恰好有两名学生的视力大于4.6有:
,,
,
,

所求概率
………………………………………………12分

考点：平均数、方差、古典概型.

（18） 答案：见解析.

解析：（Ⅰ）证明：取
中点，连结
，

∵为
的中点，

∴
∥
，且
=

又
∥
，且

∴
∥
，且
=
，

∴四边形
为平行四边形，∴
． …………4分

又∵
平面
，
平面
，

∴
∥平面
. …………6分

（Ⅱ）证明：∵
为正三角形，∴
⊥
,

∵
⊥平面
，
//
,

∴
⊥平面
, 又
平面
,∴
⊥
.

又
⊥
，
,

∴
⊥平面
. …………10分

又
∥
∴
⊥平面
.

又∵
平面
, ∴平面
⊥平面
. …………12分

考点：立体几何平行垂直关系的证明.

(19)答案：（Ⅰ）
=72
（Ⅱ）

解析：由题意知这个等比数阵的每一行都是以2的公比的等比数列，每一列都是以3为公比的等比数列。

（Ⅰ）
………………………………2分

因为

…………………………………5分

（Ⅱ）因为
…………………………………………………………6分

…………………………8分

=

=
………………………………………………12分

考点：等比数列的概念；等比数列的通项公式；数列求和公式；分组求和.

(20)答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析

解析：（Ⅰ）易知
=0，
，可得所求切线方程为
. ………3分

（Ⅱ）由题意得函数的定义域为
，因为
，

所以①当
时，
恒成立，
在定义域上为增函数； …………………5分

②当
时，

令
，易知此函数图象开口向上，过定点
，

1）当
即
时
恒成立，
在定义域上为增函数；……8分

2）当
即
时由
得

又因为对称轴为

函数图象开口向上，过定点
所以两个根均为正数，

从而
在
和
上为增函数，

在
上为减函数.…………………………12分

综上：当
时，
的增区间为
；

当
时，
的增区间为
和