淮南二中2015届高三第三次模拟考试数学试题（理科）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 若复数满足
为虚数单位），则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．已知全集为，集合
，则
（ ）

A.
B.

C.
D.

3. 执行如图所示的程序框图，则输出
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 下列说法正确的是（ ）

A. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60

B. 在某项测量中，测量结果
服从正态分布
，若
在
内取值的概率为0.4，则
在
内取值的概率为0.8

C. “
”是“
”的充要条件

D. “
，
”的否定是“
”

5. 若当
时，函数
取得最小值，则函数
是（ ）

A．奇函数且图像关于点
对称 B．偶函数且图像关于直线
对称

C．偶函数且图像关于点
对称 D．奇函数且图像关于直线
对称

6. 某几何体的三视图（单位：
）如右图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（ ）

A.
B.

C.
D.

7. 设不等式组
所表示的区域为
，函数
的图象与轴所围成的区域为
,

向
内随机投一个点,则该点落在
内的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 已知抛物线
：
的焦点为，准线为
，是
上一点，
是直线
与
的一个交点，

若
，则
=（ ）

A.
B.
C. 3 D. 2

9．如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，

若P为半径OC上的动点，则
的最小值为（　　）

（第9题图）

A．
B．
C．9 D．﹣9

10. 已知函数
为上的奇函数，当
时，

(
),若对任意实数
,则实数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上）

11. 已知二项式
的展开式的二项式系数之和为
，则展开式中含项的系数是_ _.

12. 等差数列{an}的前n项和为
，
，则当
取最小值时， = 。

13.已知直线
的参数方程为
（为参数），以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，则直线
与曲线
相交的弦长为__________．

14.将甲、乙等6名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，则甲、乙在同一路口的不同的分配方案共有 种(请用数字作答)

15.函数
图像上不同两点
处的切线的斜率分别是
，规定
叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：

①函数
图像上两点与的横坐标分别为
，则

②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

③设点、是抛物线
上不同的两点，则
；

④设曲线
上不同两点
，且
，若
恒成立，则实数的取值范围是
.以上正确命题的序号为 。

三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分12分）

已知函数
.

(Ⅰ)求
的最小正周期；

(Ⅱ)在
中，角
所对的边分别为
，若

且
的面积为
，求边长的值.

17.（本小题满分12分）

根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0～50，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为
，
，
，
，
，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．

（Ⅰ）求的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气

质量指数的平均值；

（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为 “最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为
，求
的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．

18.（本小题满分12分）

如图，在矩形
中，
，,分别为
,
的中点，且沿
,
分别将
与
折起来，使其顶点
与重合于点，若所得三棱锥
的顶点在底面
内的射影
恰为
的中点。

（Ⅰ）求三棱锥
的体积；

（Ⅱ）求折起前的
与侧面
所成二面角的大小.

19. （本小题满分13分）

等差数列
的前项和为
，数列
是等比数列，满足
，

(Ⅰ)求数列
和
的通项公式；

(Ⅱ)令
设数列
的前项和
，求

20．（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
的离心率为
，且过点（3，-1）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若动点P在直线
：
上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线
恒过定点，并求出该定点的坐标．

21．（本小题满分13分）

已知函数
，
，其中
.

（Ⅰ）判断f(x)的单调性；

（Ⅱ）若g(x)在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

若函数F(x)=f(x)-g(x)存在两个零点m，n(0

点(x0，F(x0))处的切线能否平行于x轴？

淮南二中2015届高三第三次模拟考试

数学试题（理科）参考答案

1-5 ADDBC 6-10 CABBD 11. 10 12. 11 13.
14. 150 15. ①②③

16.解析：

…………………4分

（1）
； …………………6分

（2）
…………………8分

…………………10分

由余弦定理得
…………………12分

17.解：(Ⅰ)由题意，得
解得
…………………3分

50个样本中空气质量指数的平均值为

由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6 …………6分

（Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在
内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则
.
的可能取值为0，1，2，………………………………………7分

…………10分

的分布列为：

0

1

2













 …………………11分

.(或者
)， …………………12分

设一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数为η，则η～B（30，0．3）

故一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为Eη=30×0.3=9天. … 13分

18. 【解】( I )依题设：

面

又依题设：O为EF的中点，且

,

故
是斜边为
的等腰
，

故
，且
，

又
为矩形，且,为边的中点
，

故
。

( II ) 因所求二面角与二面角
互补，故先求二面角
。

作
于H，连
，

则由
知：OH为
的射影

为二面角
的平面角，

在
中，由
易求得：
，又
，

故在
中，由

=
，

由此即知二面角
的大小为
。

（II）设平面
与平面
的夹角为，

并设其法向量为
，

则由
，
，

以及

取
，得平面
的一个法向量为：
；

而平面
的一个法向量为：
，

故由
=

。

而所求二面角为钝二面角，故其大小为
。

19.解析：(Ⅰ)设数列
的公差为d，数列
的公比为q，则

由
得
解得

所以
，
． …………………4分

(Ⅱ)由
，
得
，

则
即
 …………………6分

…………………9分

…………………12分

20．解：（1）由题意知点（3，－1）在椭圆C上，即＋＝1, ① …………………………1分

又椭圆的离心率为，所以＝＝（）2＝，② …………………………3分

联立①②可解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1．…………………………5分

（2）因为直线l的方程为x＝－2，设P（－2，y0），y0∈（－，），…………………6分

当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），显然x1≠x2，

联立则