安庆一中2015届高三年级第三次模拟考试数学(理科)试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，务必在试题卷答题卡规定的地方填写自己的班级、姓名、考场号、座位号。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知为虚数单位，复数满足
，则复数的虚部为（ ）.

A.
B.
C.
D.

2. 若执行如图所示的程序框图，输出
的值为3，则判断框中应填入的条件是（ ）.

A.
B.
C.
D.

3. 若
，则实数等于（ ）

A．
B．1 C．
D．

4. 下列命题：①若
则
对
恒成立； ②要得到函数
的图象，只需将
的图象向右平移
个单位；

③若锐角
满足
，则
．其中真命题的个数是（ ）

A．
B． C． D．

5. 设
，则“
”是“直线
与直线
平行”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 则曲线C1：
上的点到曲线C2 ：
（为参数）上的点的最短距离为( )

A．
B．
C．
D．

7．在△ABC所在平面上有一点P，满足
，则△PBC与△ABC面积之比是（　　）

A．



B．



C．



D．





8. 数列
满足
，
，记数列
前n项的和为Sn，若
对任意的
恒成立，则正整数的最小值为 （ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

9. 实数
满足
，则
的最大值为（　　）

A． 4 B． 2
C．2 D．

10. 若
，其中
，且
，则实数对
表示坐标平面上不同点的个数为（　　）

A．50个 B．70个 C． 90个 D． 180个

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。

11. 二项式
的展开式中，只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为　 　

12. 在区间[0，4]内随机取两个数
，则使得函数
有零点的概率为 ．

13.已知正三棱锥P﹣ABC的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为　　．

14. 双曲线
的一条渐近线方程为
,离心率为,则
的最小值为 .

15. 在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似实数排序的定义，我们定义“点序”记为“”：已知
和
，
，当且仅当“
”或“
且
”.定义两点的“
”与“
”运算如下：

.

则下面四个命题：

①已知
和
，则
；

②已知
和
，若
，则
，且
；

③已知
，
，则
；

④已知
，则对任意的点
，都有
；

⑤已知
，则对任意的点
，都有
.

其中真命题的序号为 （把真命题的序号全部写出）[来

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

中，角
的对边分别为
，已知点
在直线

上。

（1）求角
的大小；

（2）若
为锐角三角形且满足
，求实数的最小值。

17.（本小题满分12分）

已知数列
的前项和为
，满足:

（1）求
，猜想
,并用数学归纳法证明；

（2）设
，求证：对任意正整数，有
．

18.（本小题满分12分）

在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设某4名考生选做每一道题的概率均为
.

（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；

（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为
，求
的概率分布列及数学期望.

19.（本小题满分13分）

如图，在
中，
，
，点在边
上，设
，过点作
交
于，作
交
于。沿
将
翻折成
使平面
平面
；沿
将
翻折成
使平面
平面
．

（1）求证：
平面
；

（2）是否存在正实数
，使得二面角
的大小为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

20.（本小题满分13分）

如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
:
,设
是椭圆
上的任一点，从原点
向圆：
作两条切线，分别交椭圆于点，
.

（1）若直线
，
互相垂直，求圆的方程；

（2）若直线
，
的斜率存在，并记为
，
，求证：
；

（3）试问
是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

21.（本小题满分13分）

已知函数

（1）方程
有且只有一个实数解，求的值；

（2）若函数
的极值点

恰好是函数

的零点，求
的最小值．

 理科数学参考答案

一、选择题

1. A 解析：由条件可知
，其虚部为
.

2. C 解析：执行程序框图依次得

，此时应不符合条件，输出此时的
的值，故选C.

3. A

解析：
，
.

4. B

解析；①②是假命题，③是真命题.

5. A 解：若直线
与直线
平行，则有
，解得
，故选A.

6. D 解：曲线C1、C2的直角坐标方程分别是
、
圆心到直线的距离是
结合图形发现最短距离为
故选D.

7、A

解答：

解：∵
，

∴P是三角形的重心，

∴P到顶点的距离是到对边距离的2倍，

∵△PBC与△ABC底边相同，

∴△PBC与△ABC面积之比是

故选A



8. D

解：由条件得：

设

由于

f(n)关于n成递减的. 其最大值在n=1时取到，即为
，若
对任意的
恒成立，只要
，故正整数的最小值为10.

9. C

解：由x2+2xy+y2+x2y2=1，变形为（x+y）2+（xy）2=1．

可设x+y=cosθ，xy=sinθ，θ∈[0， 2π）．

∴（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=cos2θ﹣4sinθ=1﹣sin2θ﹣4sinθ=﹣（sinθ+2）2+5≤4，

∴x﹣y≤2，

故选：C．



10.C：







解：记A=∈{x|x=a0+a1?10+a2?100}，

实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数等价于要找x+y=636在A中的解的个数，

按10进制位考察即可．

首先看个位，a0+a0=6，有5种可能．

再往前看：

a1+a1=3且a2+a2=6，有2×5=10种可能，

a1+a1=13且a2+a2=5，有2×4=8种可能

所以一共有（10+8）×5=90个解，

对应于平面上90个不同的点．

故选C．



二、填空题

11、210 根据展开式中，只有第6项的系数最大，可求n=10，写出其通项公式，令x的指数为0，即可求出展开式中的常数项.

12.

解：∵两个数a、b在区间[0，4]内随地机取，

∴以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，

可得对应的点（a，b）在如图的正方形OABC及其内部任意取，

其中A（0，4），B（4，4），C（4，0），O为坐标原点

若函数f（x）=x2+ax+b2有零点，则

△=a2﹣4b2≥0，解之得a≥2b，满足条件的点（a，b）在直线a﹣2b=0的下方，

且在正方形OABC内部的三角形，其面积为S1=
=4

∵正方形OABC的面积为S=4×4=16

∴函数f（x）=x2+ax+b2有零点的概率为P=
=
=

故答案为：





13.

解：

解：由正视图与侧视图知，正三棱锥的侧棱长为4，底面正三角形的边长为2
，如图：

其中SA=4，AH=
×2
×
=2，SH=
=2
，

设其外接球的球心为0，半径为R，则：OS=OA=R，

∴R+
=2
?R=
，

∴外接球的表面积S=4π×
=
．

故答案为：



14.

解：由题意

，因为
所以
，当且仅当
即
时，等号成立.

15. 答案: ①③④

三、解答题

16.

解：

（1）由条件可知
，根据正弦定理得
，又由余弦定理知
，故角
的大小为
。………6分

（2）由条件可知

，

当且仅当
即
为正三角形时，实数的最小值为2。………12分

17. 答案：

（1）
猜想
，

（2）
，
，

18.解：（1）

（2）随机变量
的可能取值为0,1,2,3,4，且
.

∴

∴变量
的分布列为：

0

1

2

3

4



















19.

解：（1）法一：以
为原点，
所在直线为轴，
所在直线为轴，过
且垂直于平面
的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则
设
，由

20.解：

（1）由圆的方程知，圆的半径的半径
，

因为直线
，
互相垂直，且和圆相切，

所以
，即
，①

又点在椭圆
上，所以
，② 联立①②，解得

所以所求圆的方程为
．

（2）因为直线
：
，
：
，与圆相切，

所以
,化简得

同理
，

所以
是方程
的两个不相等的实数根，

有韦达定理得，

因为点
在椭圆C上，所以
，即
，

所以
，即
．

（3）方法一：（i）当直线
不落在坐标轴上时,设
,

因为
，所以
,即

因为
在椭圆C上，所以
， 即
，

所以
，整理得
，

所以
， 所以
．

方法二：（i）当直线
不落在坐标轴上时,设
,

联立
解得

所以
，同理，得
，由
，

所以

（ii）当直线
落在坐标轴上时,显然有
，

综上：

21. 解：（1）方法一：由题意得，函数
与直线
相切 ，设切点为

，
，
又有

方法二：方程即
，构造函数
，定义域为
，

，由
可得
在
上单调递增，在
单调递减，而
；则
即
.

（2）

由已知
的两根为
，当
时方程
的

则
，

又由
为
的零点可得

两式相减
，可解得
①

而


代入①式

令

，由
，
可得
，则

设函数
，而
，则
在
单调递减，