高三数学（理）答案

一、选择题：每小题5分，共40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

D

A

B

C

C

B

A



二、填空题：每小题5分，共30分．

题号

9

10

11

12

13

14



答案















三、解答题：共6小题，共80分．

（15）（本小题满分13分）

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图．

（Ⅰ）现要从中选派一人参加数学竞赛，对预赛成绩的平均值和方差进行分析，你认为哪位学生的成绩更稳定?请说明理由；

（Ⅱ）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为
，求
的分布列及数学期望
.

解：（Ⅰ）派甲参加比较合适，理由如下：

，

， ………………………… 3分

=35.5，

=41， ………………………… 6分

，∴甲的成绩比较稳定. ……………………………… 7分

（Ⅱ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，

则
． ……………………………………………………………… 9分

随机变量
的可能取值为0，1，2，3，

且
服从B（
），
k=0，1，2，3．

的分布列为：

……………………………………………………… 11分

（或
）． ……… 13分

（16）（本小题满分13分）

己知函数
的部分图象如图所示．

（Ⅰ）求的值和函数
的解析式；

（Ⅱ）已知
中，角
的对边分别为
，若
，边
，
的面积为
，求
的值．

解：（Ⅰ）由图象知
，
,故，
，

将点
代入
，得
，

故
的解析式为
． ……………………………6 分

（Ⅱ）由
，得
，

已知
，
的面积为
，则
，

所以
． ………………………… 13分

（17）（本小题满分13分）

如图，四边形
是边长为的正方形，
，
，且
．

　（Ⅰ）求证：

；

　（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）若为
中点，在线段
上是否存在点，使得
平面
？若存在，求线段
的长；若不存在，请说明理由．

解：证明：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标
，

依题意，得

．--------------1分

（Ⅰ）
,
，所以
,故

． ……………… 4分

（Ⅱ）设平面
的法向量
，
，

，得一个
．

设平面
的法向量
，
，

，得一个
．

故
，
，

所以
，

所以二面角
的余弦值为
． ……………………………………9 分

（Ⅲ）假设在线段
上存在点，使得
平面
．

因为
，设
，

又
，由（Ⅱ）知平面
的法向量
，

若
平面
，则
，即
，

解得
．

故当点与点重合时，使得
平面
，

此时
． ………………………………………13 分

（18）（本小题满分13分）

如图椭圆
的右顶点是，上下两个顶点分别为
，四边形
是矩形（为原点），点
分别为线段
的中点．

（Ⅰ）证明：直线
与直线
的交点在椭圆上；

（Ⅱ） 已知圆：
，直线：
，当点
在椭圆上运动时，求直线被圆所截得的弦长的取值范围．

解：（Ⅰ）由题意，得
，
，
，
，
，

所以直线
的方程
，直线
的方程为
， ………… 2分

由
得

所以直线
与直线
的交点坐标为
， ………………………………… 4分

因为
，所以点
在椭圆
上． ……………… 6分

（Ⅱ）∵点
在椭圆上运动，

∴
，
①．

圆心到直线的距离
．

∵直线被圆所截得的弦长
，

将①代入，得
．

∵
，∴
，

所以
．

故直线被圆所截得的弦长的取值范围
． ……………………… 13分

（19）（本小题满分14分）

已知数列
的前项和为
，且满足

，
（
），其中
．

（Ⅰ）当
时，求
和
；

（Ⅱ）已知
，若
，
，
成等差数列，求证：对任意的自然数，
，
，
成等差数列；

（Ⅲ）当
时，若
，
，用数学归纳法证明：
时，对一切
，
成立．

解：（Ⅰ）当
时，数列
为
，公比为的等比数列，

所以
，
．-----------------------3分

（Ⅱ）当
时，
，所以
，
，
成等差数列．

当
时，
为
，公比为的等比数列，所以
，-------------4分

时，
为常数列，
，
，
成等差数列；

时，
．

因为
，
，
成等差数列，所以
，

得
，即
．------------------------7分

所以



，

所以


，即
，
，
成等差数列．---------------------9分

（Ⅲ）当
时，
．

下面用数学归纳法证明：
时，对一切
，
成立．

证明：（1）显然
时，结论成立；

（2）假设
时结论成立，即
． -------------------------------------------------10分

当
时，
．---------------------------------------------------------------------11分

考察函数
，
，

① 若
，由
，知
在区间
上单调递增．

由假设得


．

② 若
，对
总有
，

则由假设得
．

所以，
时，结论成立，

综上可知：当
时，对一切
，
成立． ………………14分

（20）（本小题满分14分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）当
时，若直线过点
且与曲线
相切，求直线的线方程；

（Ⅱ）当
时，判断方程
在区间
上有无实根；

（Ⅲ）若
时，不等式
恒成立，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）令切点为
，当
时，
，
，

∴
，切线的方程为
，

又直线过点
，
，

切线方程为
． ……………………………………………………… 5分

（Ⅱ）
时，令
，

，
在
上为增函数，

又
，所以
在
内无实数根． ………………………… 10分

（Ⅲ）
恒成立， 即
恒成立，

又
，则当
时，
恒成立，

令
，只需小于
的最小值，

， ………………………………………… 11分

，
，当