高三数学（文）答案

一、选择题：每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

D

A

B

D

C

B

C



二、填空题：每小题5分，共30分．

题号

9

10

11

12

13

14



答案















三、解答题：共6小题，共80分．

（15）（本小题满分13分）

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图．

（Ⅰ）现要从中选派一人参加数学竞赛，对预赛成绩的平均值和方差进行分析，你认为哪位学生的成绩更稳定?请说明理由；

（Ⅱ）若将频率视为概率，求乙同学在一次数学竞赛中成绩高于84分的概率；

（Ⅲ）在甲同学的8次预赛成绩中，从不小于80分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽出的2个成绩均大于85分的概率．

解：（Ⅰ）派甲参加比较合适，理由如下：

，

， …………………………… 3分

=35.5，

=41， ……………………………… 6分

，

∴甲的成绩比较稳定． …………………………………………………………… 7分

（Ⅱ）
． …………………………………………………………… 9分

（Ⅲ）从不小于80分的成绩中随机抽取2个成绩，所有结果为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共15个． ………………………………………………… 11分

其中，满足2个成绩均大于85分的有
，
，
，共3个，

所以，所求概率为
． ………………………………………………… 13分

（16）（本小题满分13分）

设函数
．

（Ⅰ）求函数
的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）已知
中，角
的对边分别为
，若
，
，
，求边．

解：（Ⅰ）


，

所以函数
的最大值为2，最小正周期
． …………………………… 6 分

（Ⅱ）由
，得
．

由
，得
．

又
，得
，

由余弦定理：

．

所以
． …………………………………………………………………13分

（17）（本小题满分13分）

如图，已知
平面
，
平面
，且
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的正弦值．

解：（Ⅰ）证明：∵
平面
，
平面
，

平面
，
平面
，

∴

，

，又
，

∴
平面
． ………………………………………………4分

（Ⅱ）∵
平面
，
，

已知
，∴
，

∵
平面
，∴
，

又∵
，∴
∴
，

取
的中点，连结
，则
，

∴
为二面角
的平面角，

∵
，∴
．

故二面角
的正弦值为
． …………………………………13 分

（18）（本小题满分13分）

已知数列
的前项和为
，且满足
，
（
），其中
．

（Ⅰ）当
时，求
和
；

（Ⅱ）已知
，若
，
，
成等差数列，求证：对任意的自然数，
，
，
成等差数列；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列
满足
，是否存在正整数

，使得
成等比数列？若存在，求出所有的
的值；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）当
时，数列
为
，公比为的等比数列，

所以
，
．--------------------------------3分

（Ⅱ）当
时，
，
，所以
，
，
成等差数列．

当
时，
为
，公比为的等比数列，所以
．-----4分

时，
为常数列，所以
，
，
成等差数列；

时，
．

因为
，
，
成等差数列，所以
，

得
，即
．-------------------7分

所以



，

所以


，即
，
，
成等差数列．----------------9分

（Ⅲ）当
时，
=
，若
成等比数列，

则
，即
，可得
．

所以
，解得：
．

又
，且
，所以
，此时
．

故当且仅当
，
使得
成等比数列． …………………………13分

（19）（本小题满分14分）

如图椭圆
的右顶点是，上下两个顶点分别为
，四边形
是矩形（为原点），点
分别为线段
的中点．

（Ⅰ）证明：直线
与直线
的交点在椭圆上；

（Ⅱ） 已知圆：
，直线：
，当点
在椭圆上运动时，求直线被圆所截得的弦长的取值范围．

解：（Ⅰ）由题意，得
，
，
，
，
，

所以直线
的方程
，直线
的方程为
， ………… 2分

由
得

所以直线
与直线
的交点坐标为
， ………………………………… 4分

因为
，所以点
在椭圆
上． ……………… 6分

（Ⅱ）∵点
在椭圆上运动，

∴
，
①．

圆心到直线的距离
．-----------------------8分

∵直线被圆所截得的弦长
，----------------------------10分

将①代入，得
．

∵
，∴
，----------------------------------------12分

所以
．

故直线被圆所截得的弦长的取值范围
． ……………………… 14分

（20）（本小题满分14分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）当
时，若直线过点
且与曲线
相切，求直线的线方程；

（Ⅱ）当
时，判断方程
在区间
上有无实根；

（Ⅲ）若
时，不等式
恒成立，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）令切点为
，当
时，
，
，

∴
，切线的方程为
，

又直线过点
，
，

切线方程为
． ……………………………………………………… 5分

（Ⅱ）
时，令
，

，
在
上为增函数，

又
，所以
在
内无实数根． ………………………… 10分

（Ⅲ）
恒成立， 即
恒成立，

又
，则当
时，
恒成立，

令
，只需小于
的最小值，

， ………………………………………… 11分

，
，当
时
，

在
上单调递减，
在
的最小值为
，

则的取值范围是
． ……………………………………14分