高三数学（文）（2015、3）

一、选择题：每小题5分，共40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

D

B

C

D

A

C

B



二、填空题：每小题5分，共30分．

题号

9

10

11

12

13

14



答案



1

15





-12



三、解答题：共6小题，共80分．

（15）（本小题满分13分）

解（Ⅰ）所有可能结果为：

共15个-----------------------------------------------5分

（Ⅱ）事件
共有

9个

所以
； ---------------------------9分

（Ⅲ）事件共有

所以
. ---------------------------13分

（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为
的面积
，
，
，

所以，
，

所以
；-----------------------------------------------------3分

当

由余弦定理
,
.----------6分

当

由余弦定理
,
---------7分

（Ⅱ）当
时，
，
,
;----------8分

当
时，由正弦定理
，
---------------11分

因为
，所以
,

.--------------------------------13分

（17）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

又
与
的等比中项为
，
……………2分

而
，
……………4分

，
………………6分

（Ⅱ）

………………8分

是以
为首项，1为公差的等差数列

………10分

（Ⅲ）由（2）知

………12分

…………………13分

（18）（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：因为
，
底面
，

所以，
,
,-------------------------------------2分

又，
,

所以
面
. ------------------------------------4分

（Ⅱ） 因为为
中点，
,

所以四边形
为平行四边形，所以
,为
中点，又
是
的中点，

故，
,
平面
,
平面
,

所以
平面
.------------------------------------------4分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

所以，
与
所成的角就是
与
所成的角.

，
，在直角
中，
,

所以，
与
所成的角为
------------------------------------13分

（19）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）k=2，
．则
=
．………2分

＜0，（此处用“≤”同样给分） ……………………4分

注意到x＞0，于是函数的减区间为
．（写为
同样给分）---------6分

（Ⅱ）当k＜0时，g(x)=
=
．g(x)=
≥

当且仅当x=
时，上述“≥”中取“=”．

①若
∈
，即当k∈
时，函数g(x)在区间
上的最小值为
； …10分

②若k＜-4，则
在
上为负恒成立，

故g(x)在区间
上为减函数，

于是g(x)在区间
上的最小值为g(2)=6-k． ………………………12分

综上所述，当k∈
时，函数g(x)在区间
上的最小值为
；

当k＜-4时，函数g(x)在区间
上的最小值为6-k． ………………………14分

（20）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由
，得：
①------------------2分

过点
和
的直线为：
，即
-------3分

所以
…②---------------------------------------5分

由①②解得：
，

所以椭圆C的方程：
-------------------------------- 7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
,

联立
得：

设
，
,则
，
-------10分

，菱形对角线互相垂直，则
-------11分

即
，由已知，
且
,

所以，
，因为
，所以

所以，存在满足条件的点,且
. -------14分