河西区2014—2015学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）数 学 试 卷（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。

答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考号填写密封线内相应位置。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，将答案填在题后的括号内。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

·如果事件，互斥，那么

·如果事件，相互独立，那么

·柱体的体积公式

·锥体的体积公式

其中表示柱（锥）体的底面面积

表示柱（锥）体的高





一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）复数
（ ）

(A)

(B)

(C)

(D)





（2）已知命题:对任意
，总有
，:“
”是“
”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）

(A)

(B)

(C)

(D)



（3）如图所示,程序框图的输出结果是（ ）

(A)
(B)

(C)
(D)

（4）直线
与曲线
在第一象限内围成的封闭

图形的面积为( )

(A)
(B)

(C) (D)

（5）设抛物线
的焦点为，准线为，为抛物线上一点,
,为垂足，若直线
斜率为
,那么
( )

(A)
(B) (C)
(D)

（6）如图
中，已知点在
边上，
,
，
，
，则
的长为( )

(A)

(B)

(C)

(D)



（7）给定函数①
，②
，③
，④
，其中在区间
上单调递减函数的序号是( )

(A) ①②

(B) ②③

(C) ③④

(D) ①④



（8）已知函数

与
的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是( )

(A)

(B)

(C)

(D)



河西区2014—2015学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）

数 学 试 卷（理工类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在试卷上。

2．本卷共12小题，共110分。

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）已知某地区小学生3500人，初中生4500人，高中生2000人，近视情况如图所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 .

（10）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_______.

（11）已知曲线
的参数方程为
（为参数）

在点
处的切线为
，以坐标原点为极点，轴的正半轴

为极轴建立极坐标系,则
的极坐标方程为____________.

（12）如图，为⊙
外一点，过点作⊙
的两条切线，切点分别为，，过
的中点
作割线交⊙
于
，两点，若
，
，则
________．

（13）设,分别是
的边
,
上的点,
,
,

若
(
,
为实数),则
的值为________.

（14）设为实常数,
是定义在上的奇函数,当
时,
,若
对一切
成立,则的取值范围为 .

三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（15）（本小题满分13分）

已知向量
,
,
,设函数
.

(Ⅰ) 求
的最小正周期；

(Ⅱ) 求
在
上的最大值和最小值.

（16）（本小题满分13分）

现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.

（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是
,答对每道乙类题的概率都是
,且各题答对与否相互独立.用
表示张同学答对题的个数,求
的分布列和数学期望.

（17）（本小题满分13分）

如图，在在四棱锥
中，
面
，
，
，

，
，
为线段
上的点.

（Ⅰ）证明：
面
；

（Ⅱ）若
是
的中点,求
与面
所成的角的正切值；

（Ⅲ）若
满足
⊥面
，求
的值.



（18）（本小题满分13分）

椭圆
:
错误！未找到引用源。
的离心率
错误！未找到引用源。,
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）如图, , ,是椭圆
的顶点,是椭圆
上除顶点外的任意点,直线
交轴于点
直线
交
于点
,设
的斜率为
,
的斜率为,证明
为定值.

（19）（本小题满分14分）

正项数列
的前项和
满足:


.

（Ⅰ）求数列
的通项公式
；

（Ⅱ）令

,数列
的前项和为
，

证明:对于任意的
,都有
.

（20）（本小题满分14分）

已知函数
,
,若曲线
和曲线

都过点
,且在点处有相同的切线

(Ⅰ)求,
, ,
的值；

(Ⅱ)若
时,
,求
的取值范围.

河西区2014—2015学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）

数学试卷（理工类）参考答案及评分标准

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.

（1）A

（2） D

（3） C

（4） D



（5） B

（6） C

（7） B

（8） A



二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.

（9）
,

（10）

（11）



（12）

（13）

（14）



三、解答题：本大题共6小题，共80分.

（15）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解:
=


.

所以
的周期
. …………7分

（Ⅱ）解:当
时，

，由
在
上的图象可知

当
，即
时，
取最小值
，

当
，即
时，
取最大值.…………13分

（16）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设事件为“张同学所取的3道题至少有一道乙类题”

则有
为“张同学所取的3道题都是甲类题”

因为

，所以

…………5分

（Ⅱ）解：
所有可能取的值为0,1,2,3.

, …………6分

, …………8分

, …………10分

…………11分























所以




…………13分

（17）（本小题满分13分）

（Ⅰ） 证明:由已知得三角形
是等腰三角形,且底角等于
,

且

且
，

所以
,又因为

；…4分

（Ⅱ）解：设
,由（Ⅰ）知
,连接
,所以
与面
所成的角是
,

由已知及（Ⅰ）知:
,
，所以

,

所以
与面
所成的角的正切值是
； …………8分

（Ⅲ）解：由已知得到

,

因为
所以
,

在
中,
，
，
，

设
则

所以

所以
，
，所以
.…………13分

（18）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解:由
得

所以
再由
得
，
，所以椭圆
的方程为
…………5分

（Ⅱ）因为
，不为椭圆顶点，

则
方程为
（
且
）①

将①代入
,解得