河 东 区 2015 年 高 考 一 模 考 试数学试卷（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试

用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，

将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项：

1. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

2.本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.

1．复数
在复平面内对应的点所在象限为（ ）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限



2．已知变量
满足约束条件
则
的最大值为（ ）

A． －3



B． 0







C．1



D．3





3．某程序框图如图1所示，则输出的结果S=（ ）

A．26



B．57







C．120



D．247





4．函数
在定义域内的零点的个数为（ ）

A．0



B．1







C．2



D．3





5．下列说法正确的是个数为（ ）

①
是直线
与直线
互相垂直的充要条件

② 直线
是函数
的图象的一条对称轴

③ 已知直线
：
与圆
：
，则圆心
到直线
的距

离是

④ 若命题P：“存在
R，
”，则命题P的否定：“任意
，
”

A．1

B．2

C．3

D．4



6．已知双曲线
的渐近线方程为
，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ）

A．

B．

C．

D．1



7．在R上定义运算
若对任意
，不等式
都成立，则实数的取值范围是（ ）

A．



B．







C．



D．





8．若直角坐标系内A、B两点满足：（1）点A、B都在f（x）的图像上；（2）点A、B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹点对”。已知函数f（x）=
，则f（x）的“姊妹点对”有（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个



河 东 区 2015 年 高 考 一 模 考 试

数学试卷（理工类）

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡横线上.）

9．一支田径队有男运动员 56 人，女运动员 42 人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，则样本中女运动员的人数为 人．

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

11．如右图3，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，

于D，若AD=1，
，则圆O的面积

是 .

12．函数
的图象恒过定点，若点在直线

上，则
的最小值为 ．

13．在极坐标系中，O为极点，直线
过圆C：
的圆心C，且与直线OC垂直，则直线
的极坐标方程为 ．

14．在
中，
，
，
，是边
上一点，
，则

三、解答题：（本大题6个题，共80分）

15. （本小题满分13分）

已知函数
．

（1）求
的最小正周期；

（2）设
，求
的值域和单调递减区间．

16. （本小题满分13分）

甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为
，乙，丙做对的概率分别为， (＞)，且三位学生是否做对相互独立.记
为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

0

1

2

3















（1）求至少有一位学生做对该题的概率；

（2）求，的值；

（3）求
的数学期望.

17. （本小题满分13分）

等边三角形
的边长为3，点、分别是边
、
上的点，且满足

（如图4）．将△
沿
折起到△
的位置，使二面角
成直二面角，连结
、

（如图5）．

（1）求证：
平面
；

（2）在线段
上是否存在点，使直线
与平面
所成的角为
？若存在，求出
的长，若不存在，请说明理由．

18.（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项的和为Sn，且对任意的n∈N(，都有2Sn=
+an

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{bn}满足b1=1，2bn+1-bn=0，（n∈N(）.若cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn

19. （本小题满分14分）

已知函数

（1）当

（2）当
时，讨论
的单调性．

20. （本小题满分14分）

设
分别是椭圆
的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，满足
，
的周长为12．

（1）求椭圆的方程；

（2）求
的最大值和最小值；

（3）已知点
，
，是否存在过点的直线
与椭圆交于不同的两点
，使得
？若存在，求直线
的方程；若不存在，请说明理由．

河东区2014年高考一模试卷

数 学 答 案（理工类）

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

C

B

C

A

A

C

B



二、填空题:每小题5分，共30分.

9. 12 ，10.108+3，11. 4 ，12. 4 ，13.
，14.

三、解答题：本大题6个题，共80分

15. 解：（1）解：∵

的最小正周期为． （2）∵
，
，

．

的值域为
．

的递减区间为
．

16. 解：设“甲做对”为事件，“乙做对”为事件，“丙做对”为事件
，由题意知，

.

（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“
”是对立的，

所以至少有一位学生做对该题的概率是
.

（2）由题意知
，

，

整理得
，
.由
解得
，
.

（3）由题意知

，

=
，

∴
的数学期望为
=
.

17. 证明：（1）因为等边△
的边长为3，且

，

所以
，
．

在△
中，
，

由余弦定理得
．

因为
，

所以
．

折叠后有
．因为二面角
是直二面角，所以平面
平面
．

又平面

平面

，
平面
，
，

所以
平面
．

（2）解：由（1）的证明，可知
，
平面
．

以为坐标原点，以射线
、
、
分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系
如图．

设

，

则
，
，
．

所以
，
，
．

所以
．因为
平面
，

所以平面
的一个法向量为
．因为直线
与平面
所成的角为
，

所以
…………10分

，

解得
．

即
，满足
，符合题意．

所以在线段
上存在点，使直线
与平面
所成的角为
，此时
．

18. 解：（1）当n=1时，由2a1=2S1=
，a1＞0，得a1=1

当n≥2时，由2an=2Sn-2Sn-1=(
+an)-(
)

得（an+an-1）(an-an-1-1)=0

因为an+an-1＞0，所以an-an-1=1

故an=1+(n-1)×1=n

(2)由b1=1，
，得bn=
，则cn=n

因为 Tn=
，

所以

得

=2-（n+2）

所以 Tn=4-（n+2）

19. 解：（1） 当

所以

因此，

即 曲线

又

所以曲线

（2）因为
，

所以


，

令

（1）当

所以，当
，函数
单调递减；

当
时，
，此时
单调递

（2）当

即
，解得

①当
时，
恒成立，

此时
，函数
在（0，+∞）上单调递减；

②当

时，
单调递减；

时，
单调递增；

，此时
，函数
单调递减；

③当
时，由于

时，
，此时
，函数
单调递减；

时，
，此时
，函数
单调递增。

综上所述：

当
时，函数
在（０，１）上单调递减；

函数
在（１，＋∞）上单调递增；

当
时，函数
在（0，+∞）上单调递减；

当
时，函数
在（0，1）上单调递减；

函数
在
上单调递增；

函数
上单调递减，

20.解：（1）由题意得：
，所以
，

所以椭圆方程为：
；

（2）因为
，设P（x，y）则