高三数学（理）（2015、04）

一、选择题：每小题5分，共40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

B

C

B

A

B

C

B



二、填空题：每小题5分，共30分．

题号

9

10

11

12

13

14



答案

-220







5





三、解答题：共6小题，共80分．

（15）（本小题满分13分）

已知函数
．（
）的最小正周期为
，

（Ⅰ）求的值及函数
的单调递减区间；

（Ⅱ）将函数
的图象上各点的横坐标向右平行移动
个单位长度，纵坐标不变，得到函数
的图象，求函数
在
上的最大值和最小值．

解：（Ⅰ）
，---------------------------4分

（说明：两个公式，各占2分）

因为
，所以
；
.-----------------------------6分

（说明：公式1分，结论1分）

当
，
，函数
单调递减，------------7分

所以，函数
的单调递减区间为

.----------------------8分

（Ⅱ）将函数
的图象上各点的横坐标向右平行移动
个单位长度，，纵坐标不变，得到函数
的图象，
，------------------------------------------10分

在
上单调递增，在
上单调递减，
，

所以
在
上最大值为
，最小值为
.---------------------13分

（16）（本小题满分13分）

甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点，在点处投中一球得2分，在距篮筐3米线外设一点，在点处投中一球得3分.

已知甲、乙两人在和点投中的概率相同，分别是
，且在、两点处投中与否相互独立. 设定每人按先后再的顺序投篮三次，得分高者为胜..

（Ⅰ）若甲投篮三次，试求他投篮得分
的分布列和数学期望；

（Ⅱ）求甲胜乙的概率.

解:设“甲在点投中”的事件为，“甲在点投中”的事件为.

（Ⅰ）根据题意知
的可能取值为0,2,3,4,5,7

，

…………6分

0

2

3

4

5

7



P















所以
的分布列是：

…………8分

（Ⅱ）甲胜乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五种情形.

这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为：

…………13分

（说明：结论错，每种情况1分）

（17）（本小题满分13分）

如图，四边形
为直角梯形，
，

，
，又
，
，

．

（Ⅰ）若是
的中点，求证：
平面
;

（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值．

证明：（Ⅰ）方法一：取
中点
，因为四边形
为直角梯形
，又
，则

有平行四边形
,所以
,又是
的中点，所以
-------4分

（说明：一个线线平行2分）

所以
平面
,
平面
,
,

所以平面
平面
,而
平面
,所以
平面
;--------------6分

（说明：一个线面平行1分）

方法二：因为
,
,
,

所以，
平面
.-------------------------------------------------------------------------1分

过点
作
,以点
为坐标原点，

所在直线为轴，
所在直线为轴，
所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则

,
,
,
,
,
,

------------------------------------------------------------------------------------------------------------3分

（说明：对3个坐标1分）

设平面
的一个法向量
，则
即

得一个
，又
，----------------------------------------5分

故
，所以，
平面
;---------------------------------------------------6分

（Ⅱ）∴
，
，
，-----------8分

（说明：对2个1分）

设平面
的一个法向量为
，则
，

即
，取
则
，得
，-----------10分

设
与平面
所成角为
，则
，

于是
与平面
所成角的正弦值为
．---------13分

（说明：公式2分，结论1分）

（18）（本小题满分13分）

已知椭圆
（
）的离心率为
，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆的右顶点作两条互相垂直的直线
，且分别交椭圆于
两点，探究直线
是否过定点？若过定点求出定点坐标，否则说明理由.

解：（Ⅰ）依题意：
，则
，---------------------2分

（说明：离心率公式1分，结论1分）

因为以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆：
与直线
相切，

所以，
，
，

椭圆的方程：
-------------------------------------------6分

（说明：确定值2分，a值1分，方程1分）

（Ⅱ）依题意
，
斜率存在，设
：
，
：
，----7分

设
，

将
的方程代入椭圆得：
，

所以
，
，-----------------------------------------9分

将换成
则

所以
，
--------------------------------------------------10分

所以，直线
的斜率为：
.-----------------11分

直线
的方程为：
，即
，

所以，直线
过定点
.-----------------------------------------------12分

当
时，
,此时，直线
也过定点

故，直线
必过定点
.------------------------------------------------13分

（19）（本小题满分14分）

各项均为正数的等比数列
，a1=1，

=16，单调增数列
的前n项和为
，
，且
（
）．

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）令
（
），

（1）求数列
的前项和
；

（2）若
，证明：对任意的整数
，有
．

（Ⅰ）∵

=
，
=4，∵
，∴q=2，　∴
----3分

（说明：通项公式2分，结论1分）

∴b3=
＝8. ∵
+2　①

当n≥2时，
+2 ②

①-②得
--------------------------------------------------------------4分

即

∵
∴
=3，∴
是公差为3的等差数列．---------------------------5分

当n＝1时，
+2，解得
=1或
=2，

当
=1时，
，此时
=7，与
矛盾；当
时
，此时此时
=8=
，∴
．　-------------------------------------------------------------------7分

（说明：没有分类扣1分）

（Ⅱ）（1）∵
，∴
＝
，

①

②---------------8分

-②得
-----------------------------------9分

---------------------------------------------------------------------------------------------10分

（说明：结论不整理不扣分）

（2）若
=
，

-----------------------------------------------11分

-------------------------------------------------------------------------12分

-------------------------------------------------13分

.

故
( m>4).--------------------------------------------------------------------14分

（20）（本小题满分14分）

设函数
，其中是自然对数的底数.

（Ⅰ）当
时，求函数
的极值；

（Ⅱ）若
在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设
，若在
上至少存在一点
，使得
＞
成立，

求实数的取值范围.

解：（Ⅰ）

………… 1分

当
时，

令
，
-----------------------------------------------3分

x















+

0

-

0

+



f(x)

增

2

减



增



所以，函数
在
时，取得极大值2
；函数