高三数学（理）（2015、3）

一、选择题：每小题5分，共40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

D

B

C

A

C

D

C



二、填空题：每小题5分，共30分．

题号

9

10

11

12

13

14



答案

15



-4





-12



三、解答题：共6小题，共80分．

（15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为
的面积
，
，
，

所以，
，

所以
；-----------------------------------------------------3分

当

由余弦定理
,
.----------6分

当

由余弦定理
,
---------7分

（Ⅱ）当
时，
，
,
;----------8分

当
时，由正弦定理
，
---------------11分

因为
，所以
,

.--------------------------------13分

（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）解法一：由题意知，
的可能取值为0，1，2，3，且 ……1分

，
，…………3分

，
．…………5分

所以
的分布列为

0

1

2

3
















的数学期望为
．…………7分

解法二：根据题设可知，
，…………3分

因此
的分布列为

．………5分

因为
，所以
．…………7分

（Ⅱ）解法一：用
表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以
，且
互斥，又…………8分

，…………10分

，…………11分

由互斥事件的概率公式得
．…………13分

解法二：用
表示“甲队得
分”这一事件，用
表示“乙队得
分”这一事件，
．

由于事件
，
为互斥事件，故有
．

由题设可知，事件
与
独立，事件
与
独立，…………10分

因此

．…………13分

（17）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

又
与
的等比中项为
，
……………2分

而
，
……………4分

，
………………6分

（Ⅱ）

………………8分

是以
为首项，1为公差的等差数列

………10分

（Ⅲ）由（2）知

………12分

…………………13分

（18）（本小题满分13分）

因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，
.

（Ⅰ）证明：因

由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD. ….3分

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD. -------------4分

（Ⅱ）解：因

----------------------------------------------------------------------------------------------------8分

（Ⅲ）方法一：解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在
使

要使
---------------10分

为所求二面角的平面角.



所以所求二面角的正弦值为
.------------------------------------------------------------13分

（Ⅲ）方法二：解：向量
,

设平面
的法向量
，平面
的法向量

则
令
，则
-----------------10分

令
，则

所以
，

所以所求二面角的正弦值为
.------------------------------------------------------------13分

（19）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由
，得：
①------------------2分

过点
和
的直线为：
，即
-------3分

所以
…②---------------------------------------5分

由①②解得：
，

所以椭圆C的方程：
-------------------------------- 7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
,

联立
得：

设
，
,则
，
-------10分

，菱形对角线互相垂直，则
-------11分

即
，由已知，
且
,

所以，
，因为
，所以

所以，存在满足条件的点,且
. -------14分

（20）（本小题满分14分）

解：解：（Ⅰ）
，
，
．

∴
，且
．

解得a＝2，b＝1． ------------------------------------------------------4分

（Ⅱ）
，令
，

则
，令
，得x＝1（x＝－1舍去）．

在
内，当x∈
时，
，∴h(x)是增函数；

当x∈
时，
，∴h(x)是减函数． ---------------------6分

则方程
在
内有两个不等实根的充要条件是
-------8分

即
． -------9分

（Ⅲ）
，
．

假设结论成立，则有
-------11分

①－②，得
．

∴
．

由④得
，

∴
．即
．

即
．⑤

令
，
（0＜t＜1)，

则
＞0．∴
在0＜t＜1上增函数．

，∴⑤式不成立，与假设矛盾．

∴
． -------14分