高三数学（文）（2015、04）

一、选择题：每小题5分，共40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

B

D

C

B

A

C

B



二、填空题：每小题5分，共30分．

题号

9

10

11

12

13

14



答案

27







1





三、解答题：共6小题，共80分．

（15）（本小题满分13分）

在
中，角
所对的边长分别为
．若
，，

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
面积
，求边
（其中
）．

（Ⅰ）由
，
，因为为三角形内角，所以

所以，
.---------------------------------------------------------------------------------------------5分

（说明：二倍角公式2分，
结果1分，
舍取1分，结果1分）

（Ⅱ）因为
即
,

得：
．--------------------------------------------------------------------------------------7分

（说明：公式2分，结果1分）

由（Ⅰ）知
-------------------------------------------------------------------------------------8分

由余弦定理得
，

则
，------------------------------------------------------------------------------------11分

（舍）

（说明：余弦定理2分，结论1分）

解
得
．---------------------------------------------------------13分

（说明：一个结果1分）

（16）（本小题满分13分）

在一个盒子中装有标号为1、3、5、7、9的五个球，现从中一次性取出两个球，每个小球被取出的可能性相等．

（Ⅰ）写出从中一次性取出两个球全部可能的所有结果；

（Ⅱ）求取出的两个球上标号之和能被4整除的概率；

（Ⅲ）将取出的两个球按较小标号为横坐标，较大标号为纵坐标，确定点，求这些点落在直线
上的概率．

解：（Ⅰ）结果有以下10种：（1，3），（1，5），（1，7）（1，9）,

（3，,5）, （3，7），（3, 9），

（5， 7），（5，9），

（7, 9）-----------------------------------------------------4分

（说明：全对4分，错一个扣1分，错4个以上不给分）

（Ⅱ）取出的两个球上标号之积能被4整除的结果有以下6种

（1，3），（1，7），（3， 5）（3，9）（5， 7）（7, 9）

故所求概率=
------------------------------------------------8分

（说明：找对6种1分，公式2分，结果1分）

（Ⅲ）落在直线
上的点有（1，3），（3，,5），（5， 7），（7, 9）

共4两种----------------------------------------------- --------------------11分

（说明：体现点在直线上2分，找对4种1分）

故所求概率=
。 ----------------------13分

（说明：公式1分，结论1分）

（17）（本小题满分13分）

如图，四边形
为直角梯形，
，

，
，又
，
，

．

（Ⅰ）求证：平面
平面
．;

（Ⅱ）若是
的中点，求证：
平面

（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值.

（17）（本小题满分13分）

证明：（Ⅰ）因为
,
,
,

所以，
平面
.-----------------------------------------------------------------2分

又
平面
，

所以平面
平面
．----------------------------------------------------------------3分

（Ⅱ）取
中点
，因为四边形
为直角梯形
，又
，则

有平行四边形
,所以
,又是
的中点，所以
-----5分

（说明：一个线线平行1分）

所以
平面
,
平面
,
,

所以平面
平面
,而
平面
,所以
平面
;------------7分

（说明：一个线面平行1分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）平面
平面
，过点作
交延长线于点
，

则
平面
,

所以，
为直线
与平面
所成角.---------------------------------------------------10分

（说明：确定面垂线1分，确定角2分）

在三角形
中，
，可得
，

在直角三角形
中，可得
,则
.

即直线
与平面
所成角的正弦值为
.---------------------------------------------13分

（说明：
各1分）

（18）（本小题满分13分）

已知椭圆
（
）的离心率为
，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆的右顶点作两条互相垂直的直线
，且分别交椭圆于
两点，探究直线
是否过定点？若过定点求出定点坐标，否则说明理由.

解：（Ⅰ）依题意：
，则
，---------------------2分

（说明：离心率公式1分，结论1分）

因为以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆：
与直线
相切，

所以，
，
，

椭圆的方程：
-------------------------------------------6分

（说明：确定值2分，a值1分，方程1分）

（Ⅱ）依题意
，
斜率存在，设
：
，
：
，----7分

设
，

将
的方程代入椭圆得：
，

所以
，
，-----------------------------------------9分

将换成
则

所以
，
--------------------------------------------------10分

所以，直线
的斜率为：
.-----------------11分

直线
的方程为：
，即
，

所以，直线
过定点
.-----------------------------------------------12分

当
时，
,此时，直线
也过定点

故，直线
必过定点
.------------------------------------------------13分

（19）（本小题满分14分）

各项均为正数的等比数列
，a1=1，

=16，单调增数列
的前n项和为
，
，且
（
）．

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）令
（
），

（1）求数列
的前项和
；

（2）求使得
的所有n的值，并说明理由．

（19）（本小题满分14分）

（Ⅰ）∵

=
，
=4，∵
，∴q=2，　∴
----3分

（说明：通项公式2分，结论1分）

∴b3=
＝8. ∵
+2　①

当n≥2时，
+2 ②

①-②得
--------------------------------------------------------------4分

即

∵
∴
=3，∴
是公差为3的等差数列．---------------------------5分

∵
，

∴
．　-------------------------------------------------------------------7分

（Ⅱ）（1）∵
，∴
＝
，

①

②---------------8分

-②得
-----------------------------------9分

---------------------------------------------------------------------------------------------10分

（说明：结论不整理不扣分）

（2）
=2>1，
=
＞1，
=2>1,
>1，
<1，-----------11分

下面证明当n≥5时，

事实上，当n≥5时，
＝
＜0

即
，∵
<1 ∴当n≥5时，
，-----------------------------13分

故满足条件
的所有n的值为1，2，3，4．--------------------------------14分

（20）（本小题满分14分）

设函数
，其中是自然对数的底数.

（Ⅰ）当
时，求函数
的极值；

（Ⅱ）设
，若在
上至少存在一点
，使得
＞
成立，

求实数的取值范围.

解：（Ⅰ）

-----------------1分

当
时，

令
，
----------------------------------------------------3分

x















+

0

-

0

+



f(x)

增

2

减



增



所以，函数
在
时，取得极大值2
；函数
在
时，取得极小值
.----------------------------------------------------------------------------------------6分

（说明：单调性1分，两个极值各1分）

（Ⅱ）∵
在
上是减函数，

∴
时，
；
时，
，

即
， …………8 分

当
时，
在
上递减
＜2，不合题意；

② 当0＜＜1时，由
，

∴

＜， 不合题意； …………10 分

③ 当
时，
在
上是增函数，

＜2，又
在
上是减函数，

故只需
＞
，
，

而
，