2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

(银川一中第二次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={x|ax=1}，B={0,1}，若
，则由a的取值构成的集合为

A．{1} B．{0} C．{0,1} D．

2．复数
的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虛数单位，则点（a，b）为

A．（2，1） B．（2，﹣i） C．（1，2） D．（1，﹣2）

3．在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好

落在正方形与曲线
围成的区域内（阴影部分）的

概率为

A．
B．
C．
D．

4．等差数列
中，已知
，
，使得
的最小正整数n为

A．10 B．9 C．8 D．7

5．定义在区间
上的函数
的值域是
，

则
的最大值M和最小值m分别是

A．
B．

C．
D．

6．已知
展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则

A．
B．
C．
D．

7．下列命题中正确命题的个数是

（1）
是
的充分必要条件；

（2）若
且
，则
；

（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；

（4）设随机变量
服从正态分布N(0,1),若
，则

A．4 B．3 C．2 D．1

8．下列图象中，有一个是函数
的导函数
的图象，则

A．
　　　B．
　　　C．
　　　D．
或

9．若
，对任意实数t都有
，且
，

则实数m的值等于

A．.±1 B．±3 C．－1或3 D．－3或1

10．设
，则对于任意的实数a和b，a+b0是
的

A．充分且必要条件 　　　　　　B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 　　 D．既不充分又不必要条件

11．已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=
，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为

A．
B．
C．
D．

12．设双曲线
(a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，

若
，
，则该双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21

题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第

24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 右图所示的程序是计算函数
函数值的程序，

若输出的值为4，则输入的值是 .

14．从某地高中男生中随机抽取

100名同学，将他们的体重

（单位： kg）数据绘制成频

率分布直方图（如图）．由图

中数据可知体重的平均值为

　　　　　kg；若要从身高

在[60,70），[70，80),[80,90]三

组内的男生中，用分层抽样

的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人体重不在同一组内的概率为 ．

15．在平面直角坐标系
中，点、在抛物线
上，满足
，

是抛物线的焦点，则
___________.

16．已知M={a| f(x)=2sinax在
上是增函数}，N={b|方程
有实数解}，设
，且定义在R上的奇函数
在内没有最小值，则的取值范围是 .

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分）

如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，

山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮

船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到

11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角

为60°的C处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？

18.（本小题满分12分

已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA＝AD＝DC＝
BC＝a，

E是BC的中点，将△BAE沿AE翻折成

△B1AE，使面B1AE⊥面AECD，

F为B1D的中点.

（1）求四棱锥B1－AECD的体积；

（2）证明：B1E∥面ACF；

（3）求面ADB1与面ECB1所成锐二面角的余弦值.

19．(本小题满分12分)

某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标

[70，76）

[76，82）

[82，88）

[88，94）

[94，100]



芯片甲

8

12

40

32

8



芯片乙

7

18

40

29

6





（1）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；

（2）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下，

（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列；

（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．

20．（本小题满分12分）

设直线
与椭圆
相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.

（1）证明：
；

（2）若
求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.

21．（本题满分12分）

已知函数
的最小值为0，其中
.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）已知结论：若函数
在区间 (m, n)内导数都存在 ,且m＞-, 则存在
，使得
.试用这个结论证明：若
设函数
，则对任意x∈(x1,x2)，都有f(x)

（Ⅲ）若
对任意的正整数n都成立(其中e为自然对数的底)，求实数t的最小值.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．

已知
为半圆
的直径，
，
为半圆上一点，过点
作半圆的切线
，过点作
于，交半圆于点，
.

（1）证明：
平分
；

（2）求
的长．

23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：
为参数)，将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
和2倍后得到曲线C2. 以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
.

(1)试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；

(2)在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值.

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

函数
.

（1）若
，求函数
的定义域A；

（2）设
，当实数
时，证明：
.

银川一中2015届高三第二次模拟考试数学(理科)参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

B

C

D

A

B

B

D

A

C

A



二、填空题

13.-4,0,4 14. 64.5,
15. 2 16.

三、解答题：

17.解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB=
(千米)

在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=
(千米)…………3分

在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°

　　　　　　　　　…….6分

(2)∠DAC=90°－60°=30°，sin∠DCA=sin(180°－∠ACB)=sin∠ACB=

sin∠CDA=sin(∠ACB－30°)=sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30°
.

……….9分

在△ACD中，据正弦定理得
，　　

∴答：此时船距岛A为
千米…………..12分

18、解:（1）取AE的中点M，连结B1M，因为BA=AD=DC=
BC=a，△ABE为等边三角形，则B1M=
，又因为面B1AE⊥面AECD，所以B1M⊥面AECD，

所以
---------4分

（2）连结ED交AC于O，连结OF，因为AECD为菱形，OE=OD所以FO∥B1E， 所以
。---------7分

(3)连结MD，则∠AMD=
，分别以ME,MD,MB1为x,y,z轴建系，则
,

,
,
,所以1，
，
,
,设面ECB1的法向量为
，
，令x=1,
，同理面ADB1的法向量为
， 所以
，

故面
所成锐二面角的余弦值为

19．（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为
，

芯片乙为合格品的概率约为
． …（3分）

（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15.
；
；
；
．

所以，随机变量X的分布列为：

X

90

45

30

﹣15



P











． …（8分）

（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5﹣n件．

依题意，得 50n﹣10（5﹣n）≥140，解得
．所以 n=4，或n=5．

设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A，

则
． …（12分）

20. （I）解：依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故

将
，得
①由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得
，即
… 5分

（II）解：设
由①，得
因为
，代入上式，得
……………8分

于是，△OAB的面积

其中，上式取等号的条件是
由
将
这两组值分别代入①，均可解出

所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是
………12分

21.

22. 解： （1）连接
，因为
，

所以

为半圆的切线

，

平分
……… （5分）

（2）连接
，由
知

所以
四点共圆
，

，
（10分）

24. 解:（1）由
，得
（5分）

（2）

又

而

……（10分）