银川一中2015届高三第三次模拟考试数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，
. 则
=

A．(-3，-2] B．[-2，-1) C．[-1，2) D．[2，3)

2．设是虚数单位，复数
为纯虚数，则实数为

A. 2 B. 2 C.
D.

3．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为
”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

4．已知
,则

A．-3 B.
C．3 D.

5．如右图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有

A．11种 B． 12种

C．20种 D． 21种

6．已知O是坐标原点，点A（-1,1）, 若点M（x,y）为平面区域
上的一个动点，则
·
的取值范围是

A．[0，1] B． [0，2] C．[－1，0] 　　D．[－1，2]

7．执行如图所示的程序框图,则输出的结果为

A．2 B．1 C．
D．

8．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），

（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）

变量U与V相对应的一组数据为（10，5），

（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），

表示变量Y与X之间的线性相关系数，

表示变量V与U之间的线性相关系数，则

A．
B．

C．
D．

9．在
中,角A、B、C的对边分别是
.

若
,则角A等于

A．
B．
C．
D．

10. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，

则该几何体的表面积为（单位：m2）

A.
B.

C.
D.

11．已知双曲线
的右焦点为
，设，为双曲线上关于原点对称的两点，
的中点为
，
的中点为
，若原点
在以线段
为直径的圆上，直线
的斜率为
，则双曲线的离心率为

A. 4 B. 2 C.
D.

12．已知函数
又

.

若
的最小值为
，则正数的值为

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知向量
=（
，1），
=（0，-1），
=（k，
）.若
与
共线，则k=______________.

14．若曲线
在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则＝________.

15．已知
是定义在R上的奇函数．当
时，
，则不等式

的解集用区间表示为________________.

16．如图，在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1.

设M是底面ABC内的一点，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m、n、　　　

p分别是三棱锥M—PAB、三棱锥M—PBC、三棱锥M—PCA的

体积．若
，且
恒成立，则正实数a

的最小值为________．

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分）

已知等差数列
的首项
,其前n项和为
,且
分别是等比数列
的第2项,第3项,第4项.

(I)求数列
与
的通项公式;

(II)证明

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为
的菱形，

且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝2 ，M，N分

别为PB，PD的中点．

(1)证明：MN∥平面ABCD；

(2) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三位同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三位同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三位同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.5,0.6,0.75.

(1)求甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试的概率;

(2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为，求随机变量的分布列和数学期望
.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的一个焦点与抛物线
的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与点F构成正三角形．

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使·恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数
(为实常数) .

(1)当
时,求函数
在
上的最大值及相应的值;

(2)当
时,讨论方程
根的个数.

(3)若
,且对任意的
,都有
,求实数a的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．

如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，

AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.

（1）证明：∠D＝∠E;

（2）设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，

且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形.

23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴。已知曲线C1的极坐标方程为
，曲线C2的极坐标方程为
，射线
与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D.

（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；

（2）求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.

24.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知函数
．

(I)若不等式
的解集为
，求实数a的值；

(II)在(I)的条件下，若存在实数使
成立，求实数的取值范围．

银川一中2015届高三第三次模拟考试数学(理科)参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

A

D

D

B

C

B

C

B

B

B



二、填空题：

13. k=1; 14.
;15.x((-5,0)((5,+);16. 1.

17.

18．【解析】(1)如图，连接BD.∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在△PBD中，MN∥BD.

又MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD.

(2)如图建系：A(0,0,0)，P(0,0,2 )，M，N(，0，)，C(，3,0)．

设Q(x，y，z)，则C＝(x－，y－3，z)，

C＝(－，－3，2 )．

∵C＝λC＝(－λ，－3λ，2 λ)，

∴Q(－λ，3－3λ，2 λ)．

由A⊥C?A·C＝0，得λ＝.即：Q.

对于平面AMN：设其法向量为n＝(a，b，c)．

∵A＝，A＝(，0，)．

则??

∴n＝.

同理对于平面QMN，

得其法向量为v＝.

记所求二面角A－MN－Q的平面角大小为θ，

则cosθ＝＝.

∴所求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值为.

19.解：（1）分别记“甲、乙、丙三位同学通过笔试”为

事件
，E表示事件“甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试”

则：

=0.6*0.5*0.6+0.6*0.5*0.4+0.4*0.5*0.4+0.6*0.5*0.4

=0.5

(2) “甲、乙、丙三位同学各自经过两次考试后能被该校预录取”分别记为事件A，B，C.

则

又题意，知X所有可能的取值为0，1，2，3.根据事件的独立性和互斥性得

所求分布列为：

X

0

1

2

3



P

0.343

0.441

0.189

0.027





20. 解　(1)由题意，知抛物线的焦点为F(，0)，

所以c＝＝.

因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，

所以b＝×＝1.

可求得a＝2，故椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)假设存在满足条件的点E，当直线l的斜率存在时，

设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)．

由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

则＝(m－x1，－y1)，＝(m－x2，－y2)，

所以·＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2

＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2

＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)

＝m2－＋＋k2(－＋1)

＝

＝

＝(4m2－8m＋1)＋.

要使·为定值，令2m－＝0，即m＝，此时·＝.

当直线l的斜率不存在时，不妨取P(1，)，Q(1，－)，

由E(，0)，可得＝(，－)，＝(，)，所以·＝－＝.

综上，存在点E(，0)，使·为定值.

21. 解:(1)
,当
时,
.当
时,
,又
,故
,当
时,取等号

(2)易知
,故
,方程
根的个数等价于
时,

方程
根的个数. 设
=
,

当
时,
,函数
递减,当
时,
,函数
递增.又
,
,作出
与直线
的图像,由图像知:

当
时,即
时,方程
有2个相异的根;

当
或
时,方程
有1个根;

当
时,方程
有0个根;

(3)当
时,
在
时是增函数,又函数
是减函数,不妨设
,则
等价于

即
,故原题等价于函数
在
时是减函数,

恒成立,即
在
时恒成立.

在
时是减函数

22．证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠D=∠CBE，

∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；

（2）设BC的中点为N，连接MN，

则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，

∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，

∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，

∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，

∴△ADE为等边三角形

23．解：（1）
：
，------------2分

：
，-----------------------------------4分

因为曲线
关于曲线
对称，
，
：
------5分

（2）
；

，

-----------------------8分

-----------------------10分

24.解：（Ⅰ）由
得
，∴
，即
，

∴
，∴
。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
,令
，

则，

∴
的最小值为4，故实数的取值范围是
。