银川一中2015届高三第三次模拟考试数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．函数
的定义域为

A．
B．（
） C．
D．（
）

2. 复数
的共轭复数是

A.
B.
C.
D.

3．已知向量
，
，若
，则实数
的值为

A．2 B．
C．1 D．

4．设等差数列
的前n项和为
，若
，
，则
等于

A．180 B．90 C．72 D．100

5．已知双曲线
的离心率为
，则双曲线的渐近线方程为

A．
B．
C．
D．

6．下列命题正确的个数是

A．“在三角形
中，若
,则
”的逆命题是真命题；

B．命题
或
，命题
则是的必要不充分条件；

C．“
”的否定是“
”；

D．“若
”的否命题为“若
，

则
”；

A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的

外接球的表面积等于

A．
B．
C．
D．

8．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是

63，则判断框中的整数
的值是

A．5 B．6 C．7 D．8

9．已知函数
，若存在满足

的实数
，使得曲线
在点

处的切线与直线
垂

直，则实数的取值范围是（三分之一前有

一个负号） A．
B．

C．
D．

10．若直线
被圆
截得的弦长为4，则
的最小值是

A．
　　　　　B．－
　　　　　C．－2　　　　　D．4

11．设不等式组
表示的区域为
，不等式
表示的平面区域为
．若
与
有且只有一个公共点，则等于

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
在
上有两个零点，则实数的取值范围为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设函数
错误！未找到引用源。，则方程
错误！未找到引用源。的解集为 ．

14．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 .

15．若点
在直线
上，则
的值等于 .

16．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱

C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：

①直线AM与直线C1C相交；

②直线AM与直线BN平行；

③直线AM与直线DD1异面；

④直线BN与直线MB1异面．

其中正确结论的序号为__________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足b2＋c2＝bc＋a2．

（1）求角A的大小；

（2）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA＝1，且a2，a4，a8成等比数列，求数列{}的前n项和Sn．

18.（本题满分12分）

如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，

平面ABCD，
，

，E为BC中点。

（1）求证：平面
平面PDE；

（2）线段PC上是否存在一点F，使PA//平面BDF？若存在，请找出具体位置，并进行证明；若不存在，请分析说明理由.

19.（本题满分12分）

在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：

表1：男生 表2：女生

等级

优秀

合格

尚待改进



等级

优秀

合格

尚待改进



频数

15



5



频数

15

3







（Ⅰ）从表2的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；

（Ⅱ）由表中统计数据填写右边
列联表，并判

断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．

参考数据与公式：
，其中
．

临界值表：

20.（本题满分12分）

已知椭圆
的右焦点
与抛物线
的焦点重合，原点到过点
的直线的距离是
.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线
与椭圆C有且只有一个公共点，过
作
的垂线与直线
交于点
，求证：点
在定直线上，并求出定直线的方程.

21.（本小题满分12分）

已知函数
（
）．

(1)若函数
在
处取得极值，求的值；

(2)在(1)的条件下，求证：
；

(3)当
时，
恒成立，求的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．

如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，

AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.

（1）证明：∠D＝∠E;

（2）设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，

且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形.

23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴。已知曲线C1的极坐标方程为
，曲线C2的极坐标方程为
，射线
与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D.

（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；

（2）求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.

24.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知函数
．

(I)若不等式
的解集为
，求实数a的值；

(II)在(I)的条件下，若存在实数使
成立，求实数的取值范围．

银川一中2015届高三第三次模拟考试数学(文科)参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

D

B

A

C

D

A

C

D

C

B



二、填空题：

13．
14.
15.
16. ③④

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

18.证明: (1)连结

所以
为
中点

所以
……………3分

又因为
平面
, 所以

因为
……………4分

所以
平面
……………5分

因为
平面
,所以平面
平面
……………6分

(2)当点位于
三分之一分点(靠近点)时,
平面
……………7分

连结
交于
点

,所以
相似于

又因为
，所以

从而在
中,
……10分 而

所以
………11分

而
平面

平面

所以
平面
………12分

19.解：（Ⅰ）设从高一年级男生中抽出人，则
，
，

∴
…………… 2分

表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为
，尚待改进的人为
，

则从这5人中任选2人的所有可能结果为：
，
，
，
，
，
，

，
，
，
共10种 ………………… 4分

设事件
表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，

则
的结果为：
，共6种……………5分

∴
， 故所求概率为
…………………68分

男生

女生

总计



优秀

15

15

30



非优秀

10

5

15



总计

25

20

45



（Ⅱ）

∵
，
，

而
…………………11分

所以没有
的把握认为“测评结果优秀与性别有关” …………………12分

20.（Ⅰ）由于抛物线
的焦点坐标为
，所以
，因此
，……2分

因为原点到直线
：
的距离为
，

解得：
，所以椭圆的方程为
．……………………5分

（Ⅱ）由
，得方程
，（）……………6分

由直线与椭圆相切得
且
，

整理得：
，……………………8分

将
代入（）式得

，即
，解得
，所以
，……10分

又
，所以
，所以
，

所以直线
方程为
，……………………11分

联立方程组
，得
，

所以点
在定直线
上．……………12分

21.解：（1）
，由题意可得
，解得

经检验，
时
在
处取得极值，所以
(4分)

（2）证明：由（1）知，

令

由
，

可知
在
上是减函数，在
上是增函数

所以
，所以
成立 (8分)

（3）由
知，

所以
恒成立等价于
在
时恒成立

令
，
，有
，

所以
在
上是增函数，有
，所以
. (12分)

22．证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠D=∠CBE，

∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；

（2）设BC的中点为N，连接MN，

则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，

∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，

∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，

∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形

23．解：（1）
：
，-------------------2分

：
，-----------------------------------4分

因为曲线
关于曲线
对称，
，