安庆一中2015届高三年级第三次模拟考试数学(文科)试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，务必在试题卷答题卡规定的地方填写自己的班级、姓名、考场号、座位号。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设是虚数单位，则复数
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3．“
”是“函数
为实数集上的奇函数”的（ ）.

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

4．在区间
上随机取一个实数，使得
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．将函数
的图象向右平移个单位，得到的图象关于原点对称，则的

最小正值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

A．12 B．24 C．36 D．48

7．直线
与不等式组
表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知圆心为
，半径为1的圆上有不同的三个点
，其中
，存在实数
满足
，则实数
的关系为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知抛物线
的准线与双曲线
相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程是
，点F是抛物线的焦点，且△FAB是等边三角形，则该双曲线的标准方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．对于函数
，若存在实数
，使得
的解集为
，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。

11. 为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况，采用简单随机抽样

的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了解他们上学期

使用多媒体辅助教学的次数，结果用茎叶图表示（如图），据此可估计该校

上学期200名教师中，使用多媒体辅助教学不少于30次的教师人数

为_________．

12．执行如图所示的程序，则输出的结果为________．

13．等差数列
中，
，则
．

14．已知
为正实数，直线
与圆
相切，则
的取值范围是___________．

15．对于函数
，给出下列结论：①等式
时恒成立；②函数
的值域为
；③函数
在R上有三个零点；

④若
；⑤若

其中所有正确结论的序号为______________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

在
中，角
所对的边分别为
，
，
，函数
的图象关于直线
对称.

（Ⅰ）当
时，求函数
的最大值并求相应的的值；

（Ⅱ）若
且
，求
的面积.

17.（本小题满分12分）

是指空气中直径小于或等于
微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与
的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与
的数据如下表：

时间

周一

周二

周三

周四

周五



车流量（万辆）














的浓度（微克/立方米）















（Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程
；

（Ⅱ）若周六同一时间段车流量是
万辆，试根据（Ⅰ）求出的线性回归方程预测，此时
的浓度为多少（保留整数）？

（参考公式：
，参考数据：
）

18.（本小题满分12分）

已知数列
和
对任意的
满足
，若数列
是等比数列，且
.

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前项和
.

19.（本小题满分13分）

如图，在多面体
中，四边形
是正方形，
是等边三角形，
．

（I）求证：
；

（II）求多面体
的体积.

20．（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数，直线
恒过定点F.设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为
.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设（m，n）是椭圆C上的任意一点，圆O：
与椭圆C有4个相异公共点，试判断圆O与直线l1：mx+ny=4的位置关系.

21.（本小题满分13分）

设函数

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若对任意
恒成立，求实数的最小值.

文科数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

D

A

C

A

A

D

A

D

C



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11.90

12.24

13.12

14.

15.①②④

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

解：

. …………2分

（Ⅰ）由函数
的图像关于直线
对称，知
，解得
，又
，所以当
时，
.……………4分

当
时，
，

于是当
，即
时，函数
的最大值为；……………6分

（Ⅱ）由正弦定理得
，又
得
，………8分

由余弦定理得
，

解得
，………10分

于是
的面积为
.……………12分

17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由条件可知
，

………4分

故关于的线性回归方程为
；……………8分

（Ⅱ）当
时，
，

所以可以预测此时
的浓度约为37. ……………12分

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由条件可知
，得
，于是
，

，解得
，

又数列
是等比数列，则公比为
，于是
，………3分

又
，于是
，

解得
.……………6分

（Ⅱ）由题意得
，………8分

.……………12分

19.（本小题满分13分）

证明及解：

（Ⅰ）取
中点，连
，

∥

∥
，
∥

四边形
是平行四边形

∥
，
∥

又
平面
，
平面

∥平面

在正方形
中，
∥
，
∥
，

四边形
为平行四边形

∥

又
平面
，
平面

∥平面

，平面
∥平面

又
平面

∥平面
. ……………7分

（Ⅱ）在正方形
中，
，又
是等边三角形，所以
，

所以

于是

又
，
平面
，

又
，
平面

于是多面体
是由直三棱柱
和四棱锥
组成的.

又直三棱柱
的体积为
，

四棱锥
的体积为
，

故多面体
的体积为
.……………13分

20.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

,

………………1分

解
得
. …………………3分

设椭圆C的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，

则由题设，知
于是a=2，b2=1. …………………………5分

所以椭圆C的方程为
……………………………6分

（Ⅱ）因为圆O：
与椭圆C有4个相异公共点，

所以
，即
…………………………8分

因为点（m，n）是椭圆
上的点，所以
.

所以
. ……………………10分

于是圆心O到直线l1的距离
………………………12分

故直线l1与圆O相离. ………………13分

21.（本小题满分13分）

解：（1）
的定义域为

当
时，
，
……………………2分

当
时，
，
单调递减

当
时，
，
单调递增，

综上，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
………………5分

（2）由题意知：
，在
上恒成立，

即
在区间
上恒成立，

又
，
在区间
上恒成立 …………………………7分

设
，
，则

又令
，则

当
时，
，
单调递减，
，

即
在
恒成立 …………………………………………………11分

所以
在
单调递增，
，

故
，所以实数的最小值为
.…………13分