2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）

2015.4

参考公式：

锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

台体的体积公式
，其中
，
分别是台体的上，下底面积，
是台体的高．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．
的值为

A．
B．
C．
D．

2．已知函数

的反函数为
，则

A．
B．
C．
D．

3．已知双曲线
：
经过点
，则双曲线
的离心率为

A．
B．
C．
D．

4．执行如图1所示的程序框图，则输出的的值是

A．
B．
C．
D．

5．已知命题：
，
，命题：
，使
，则下列命

题为真命题的是

A．
B．
C．
D．

6．设集合
，
，若
，则实数的取值范围为

A．
B．
C．
D．

7．已知数列
满足
，且

，则数列
的通项公式为

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
，若在区间
上任取一个实数
，则使
成立的概率为

A．
B．
C．
D．

9．如图2，圆锥的底面直径
，母线长
，点
在母线
上，且
，

有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点
，则这只蚂蚁爬行的最短距离是

A．
B．

C．
D．

10．设函数
有两个极值点
，且
，
，则点
在

平面上所构成区域的面积为

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11．已知为虚数单位，复数
，则
．

12．已知向量
，
，若
，则
．

13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离
与刹车时的速度
的关系可以用
来描述，已知这种型号的汽车在速度为60
时，紧急刹车后滑行的距离为

．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为

，则这辆车的行驶速度为
．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）

如图3，在平行四边形
中，
，点为边
的中点，

与
的延长线交于点，且
平分
，作
，

垂足为
，若
，则
的长为 ．

15．（坐标系与参数方程选做题）

在在平面直角坐标系中，已知曲线
和
的方程分别为
（为参数）和
（为参数），则曲线
和
的交点有 个．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知△
的三边，
，所对的角分别为，，
，且
．

（1）求
的值；

（2）若△
外接圆的半径为14，求△
的面积．

17．（本小题满分12分）

某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示．

年龄

分组

抽取份数

答对全卷

的人数

答对全卷的人数

占本组的概率



[20,30)

40

28

0.7



[30,40)



27

0.9



[40,50)

10

4





[50,60]

20



0.1



（1）分别求出，，
，的值；

（2）从年龄在
答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在
的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率．

18．（本小题满分14分）

如图4，已知正方体
的棱长为3，
，
分别是

棱
，
上的点，且
．

（1）证明：
，
，
，
四点共面；

（2）平面
将此正方体分为两部分，求这两部分的体积

之比．

19．（本小题满分14分）

已知点

在直线
：
上，
是直线
与轴的交点，数列
是公差为1的等差数列．

（1）求数列
，
的通项公式；

（2）若
是否存在
，使
成立？若存在，求出所有符合条件的
值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

已知函数

．

（1）若函数
在
处的切线平行于轴，求实数的值，并求此时函数
的极值；

（2）求函数
的单调区间．

21．（本小题满分14分）

已知圆心在轴上的圆
过点
和
，圆的方程为
．

（1）求圆
的方程；

（2）由圆上的动点向圆
作两条切线分别交轴于，两点，求
的取值范围．

2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

C

B

C

A

D

B

B

D





二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．

题号

11

12

13

14

15



答案















16．（本小题满分12分）

解：（1）因为
，

所以可设
，
，

，…………………………………………………………2分

由余弦定理得，

…………………………………………………………3分

．………………………………………………………………………………………………4分

（2）由（1）知，
，

因为是△
的内角，所以
．…………………………………………6分

由正弦定理
，…………………………………………………………………………………7分

得
．…………………………………………………………………8分

由（1）设
，即
，

所以
，
．………………………………………………………………10分

所以

……………………………………………………11分

．

所以△
的面积为
．…………………………………………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以
．………………………………1分

年龄在
中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以
．……………2分

年龄在
中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为
，

所以
，解得
．………………………………………………………………………… 3分

根据频率直方分布图，得
，

解得
．……………………………………………………………………………………………4分

（2）因为年龄在
与
中答对全卷的人数分别为4人与2人．

年龄在
中答对全卷的4人记为
，
，
，
，年龄在
中答对全卷的2人记为
，
，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共15种．…………………………………………………………………………………8分

其中所抽取年龄在
的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：
，
，
，
，
，
，
，
，
共9种.……………………………………11分

故所求的概率为
. ………………………………………………………………………………12分

18．（本小题满分14分）

（1）证明：连接
，

在四边形
中，
且
，

所以四边形
是平行四边形．

所以
．…………………………………………2分

在△
中，
，
，

所以
，

所以
．………………………………………………