2014—2015学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考高三年级

数学（理科）试卷

命题学校：会昌中学 寻乌中学 命题人：黄小锋 审题人：陈兴盛、蓝元伦

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设集合
，集合
，则
（ 　）

A．
B． （﹣∞，1] C．
D．

2．已知向量
是两个不共线的向量，若
与
共线，则λ的值为 ( )

A.
B.
C. 1 D.

3．直线
与圆
相交于A，B两点，则“△OAB的面积为
”是“
”

的 （ ）

A.充分不必要条件　　　　　　　B.必要不充分条件

　 C.充要条件　　　　　　　　　　D.既不充分也不必要条件

4．设随机变量
服从正态分布N（0，1），若
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．设
满足约束条件
，则目标函数
的取值范围为 （　 　）

　 A．
B．
C．
D．

6．在
中，
的对边分别为
，且
，
，

则
的面积为 ( )

A．
B．
C．
D．

7．定义在R上的偶函数
满足：对任意的
，都有
.则 （ ）

A．
B．

C．
D．

8．
的展开式中不含的项的系数和为 ( )

A．32 B．
C．64 D．

9．已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为 ( )

A．＋2 B．＋1 C．＋1 D．＋1

10.设函数
的所有正的零点从小到大依次为
.

设
，则
的值是 （ ）

A.0 B.
C.
D.1

11．若某几何体的三视图(单位：
)如图所示，则该几何体的体积等于(　 　)

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
和函数
，若
的反函数为
，且
与
两图象只有3个交点，则的取值范围是 （　 　）

A．
B．

C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．若复数
为纯虚数，则
的值为

14．设
，
，则
．

15．当输入的实数
时，执行如图所示的程序框图，则输出的

不小于103的概率是 。

16．若
，则
的最小值为 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足
成等比数列，
。

求数列{an}的通项公式；

令
，是否存在正整数M，使不等式
恒成立，若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．

18．（本小题满分12分）

某大学自主招生分笔试和面试两部分，老师把参加笔试的 40 名学生的成绩分组： 第1组[75,80），第2组 [80,85），第3组[85, 90），第4组 [90, 95），第5组[95,100），得到频率分布直方图如图所示：

分别求成绩在第4，5组的人数；

若该教师决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名进入面试，

①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲和乙同时进入面试的概率；

②若决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官 D 的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望．

19、（本小题满分12分）

如图，在斜三棱柱
中，侧面
与侧面
都是菱形，
，
，
．

求证：
；

求二面角
的余弦值．

20、（本小题满分12分）

设椭圆
的离心率
，右焦点到直线
的距离
，
为坐标原点.

（I）求椭圆
的方程；

（II）过点
作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点
到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值.

21．（本小题满分12分）

已知函数
。

（Ⅰ）函数
的单调增区间和最小值；

（Ⅱ）设函数
，若对任意
恒成立，求实数的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

22、（本小题满分10分）

如图，设AB为⊙O的任一条不与直线
垂直的直径，P是⊙O与
的公共点，AC⊥
，BD⊥
，垂足分别为C，D，且PC=PD．

（Ⅰ）求证：
是⊙O的切线；

（Ⅱ）若⊙O的半径OA=5，AC=4，求CD的长．

23、（本小题满分10分）

已知直线
的参数方程是
（是参数），⊙C的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；

（Ⅱ）试判断直线
与⊙C的位置关系．

24．（本小题满分10分）

已知函数
．

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若关于的不等式
的解集非空，求实数的取值范围．

2014—2015学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考

高三年级数学（理科）参考答案

一、选择题

1—5:ABBCD 6—10：CABDA 11—12：BC

二、填空题

13、
14、-2 15、
16、

三、解答题

17．（本小题满分12分）

解　(1)设公差为d,由已知，得

，………………………………2分

由
得

…………………………………………………………5分

(2)由(1)得
，……………………………….……….6分

∴pn＝

＝2＋－，…………………………………………………..…8分

∴p1＋p2＋p3＋…＋pn－2n＝＋＋…＋－2n＝2＋1－－.

由n是整数可得p1＋p2＋p3＋…＋pn－2n<3……………………11分

故存在最小的正整数M＝3，使不等式p1＋p2＋p3＋…＋pn－2n≤M恒成立．…….12分

18．（本小题满分12分）

解（Ⅰ）第4组学生人数为
，第5组人数为

所以第4，5组的学生人数分别为8人，4人 -----------------------------------------4分

（Ⅱ）①因为第3组学生人数为
，所以第3，4，5中抽取的人数分别是

3人，2人，1人，则甲，乙同时进入面试的概率为
---------------------8分

②由①知，X的可能取值为0，1，2所以

X分布列为

X

0

1

2



P











--------------------------------------------- 12分

19、（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，则

△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．

取CC1中点O，连OA， OB1，则

CC1⊥OA，且OA=OB1=
，AB1＝

由勾股定理可知OA⊥OB1，

…5分

（Ⅱ）解：如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，

则C(0，－1，0)，B1(，0，0)，A(0，0，)， …6分

设平面CAB1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 因为＝(，0，－)，＝(0，－1，－)，

所以取m＝(1，－，1)． …8分

设平面A1AB1的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 因为＝(，0，－)，＝ (0，2，0)，

所以取n＝(1，0，1)． …10分

则cos(m，n(＝＝＝，因为二面角C-AB1-A1为钝角，

所以二面角C-AB1-A1的余弦值为-． …12分

20．（本小题满分12分）

（I）由题意得
，

∴
，∴
……………………………….1分

由题意得椭圆的右焦点
到直线
即
的距离为

，

∴
，…………………………………………………………………………..3分

∴

∴椭圆C的方程为
………………………………………………….4分

（II）当直线AB斜率不存在时，直线AB方程为
，此时原点与直线AB的距离
…..5分

当直线AB斜率存在时，设
，直线AB的方程为

则
，
，

直线AB的方程与椭圆C的方程联立得

消去得

整理得

则
是关于的方程
的两个不相等的实数根，

∴
……………………………………….6分

，∴

整理得
，∴
，

∴O到直线AB的距离

综上：O到直线AB的距离定值
. ……9分

，当且仅当OA=OB时取“=”号.

∴
，

又
，∴
,

即弦AB的长度的最小值是
　　………………………………………..12分

21．（本小题满分12分）

解：（1）f′（x）=1+lnx，……………………………………………………….1分

令f′（x）=1+lnx＞0解得，x＞
；

故f（x）的单调增区间为（
，+∞）；

f（x）的单调减区间为（0，
）；………………………………………………..3分

故f（x）的最小值为f（
）=﹣
；………………………………………………4分

（2）由题可得
……………………………………………………5分

设
，即
.

…………………………………………6分

若
，
，这与题设
矛盾…………7分

②若
方程
的判别式

当
，即
时，
.
在
上单调递减，

，即不等式成立…………………………………………9分

当
时，方程
，其两根
满足：
，
，

当
时，
，
单调递增，
，与题设矛盾…………………11分

综上所述，
………………………………………………………………………………………12分

22、（本小题满分10分）

（Ⅰ）证明：连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，

所以AC∥BD．

又OA=OB，PC=PD，

所以OP∥BD，从而OP⊥l．

因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．…………..5分

（Ⅱ）解：由上知OP=
（AC+BD），

所以BD=2OP﹣AC=6，

过点A作AE⊥BD，垂足为E，则BE=BD﹣AC=6﹣4=2，

在Rt△ABE中，AE=
=4
，

∴CD=4
．………………………………………….10分

23、（本小题满分10分）

解：（I）由⊙C的极坐标方程为
，展开化为
，即
，

化为

∴圆心C
．………………………………………………………………………………………..5分

（II）由直线l的参数方程
（t是参数），消去参数t可得x﹣y-4
=0，

∴圆心C到直线的距离
，

因此直线l与圆相离．…………………………………………………………………………………….10分

24．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由
得

解得

∴不等式的解集为
．………………………………….4分

（Ⅱ）∵
即
的最小值等于4，….6分

由题可知|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．

故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．…………………………………10分