南昌市十所省重点中学2015年二模突破冲刺交流试卷（10）

高三数学（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把答案填在答题卷的相应位置。

1．已知集合
，则S∩T等于（ ）

A
　　　　　Ｂ　

Ｃ　
　　　　Ｄ　

2．复数
在复平面上对应的点不可能位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.已知各项均为正数的等比数列
中，
成等差数列，则
（ ）

A. 27 B.3 C.
或3 D.1或27

4.已知
,则
（ ）

A．

B．
C．
D．

5．已知向量a，b满足｜a｜＝1，a⊥b，则a－2b在a方向上的投影为( )

A．1 B．
C．－1 D．

6. 如图所示的程序框图的运行结果为
，那么判断框中应填入的关于的条件是( )

A．
B．
C．
D．

7．给出下列四个结论：

①若a，b∈[0，1]，则不等式
≤1成立的概率为
；

②由曲线y＝
与y＝
所围成的封闭图形的面积为0．5；

③已知随机变量ξ服从正态分布N（3，
），若P（ξ≤5）＝m，则P（ξ≤1）＝1－m；

④
的展开式中常数项为
．其中正确结论的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

8.有5 盆不同菊花, 其中黄菊花2 盆、 白菊花2 盆、 红菊花1 盆,现把它们摆放成一排, 要求2 盆黄菊花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻, 则这5 盆花不同的摆放种数是( )

A．12 B．24 C．36 D．48

9．设
是
的展开式中项的系数（
），若
，则
的最大值是( )

A．
B．
C．
D．

10．在锐角三角形
中，
分别为内角
的对边，若
，给出下列命题：①
；②
；③
．其中正确的个数是（ ）

A． B． C． D．

11、已知圆
，直线
，点
在直线
上．若存在圆
上的点
，使
（
为坐标原点），则
的取值范围是 （ ）

A、
B、
C、
D、

12.定义在上的可导函数
，当
时，
恒成立
则
的大小关系为（A ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。请把答案填在答题卷的相应位置。

13.设
,在约束条件
下,目标函数
的最大值等于,则_________．

14．已知函数
,另外两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率,则
取值范围是 。

15.在三棱锥
中，底面
为边长为的正三角形，顶点在底面
上的射影为
的中心， 若为
的中点，且直线
与底面
所成角的正切值为
，则三棱锥
外接球的表面积为__ ________．

16、设函数
的定义域为，如果存在非零常数，对于任意
，都有
，则称函数
是“似周期函数”，非零常数为函数
的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：

①如果“似周期函数”
的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；

②函数
是“似周期函数”； ③函数
是“似周期函数”；

④如果函数
是“似周期函数”，那么“
”．

其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）

三、解答题

17、（本小题满分12分）已知函数
.

（1）求函数
的单调增区间；

（2）在
中，
分别是角
的对边，且
，
，求
的面积的最大值.

18、(本小题满分12分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为
，
，
，
，
．

（Ⅰ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；

（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；

（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为
，求
的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）

19、(本小题满分12分）如图，
平面
，
，
，
为
的中点．

（Ⅰ）求二面角
的余弦值；

（Ⅱ）证明：在线段
上存在点，使得
，并求
的值．

20．(本小题满分12分) 已知椭圆
和圆
，A，B，F分别为椭圆C1左顶点、下顶点和右焦点．⑴点P是曲线C2上位于第二象限的一点，若△APF的面积为
，求证：AP⊥OP；

⑵点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，证明直线MN恒过定点．

21．（本小题满分12分）设函数f (x)＝(x + 1) lnx－a (x－1)在x＝e处的切线与y轴相交于点(0，2－e)．

（1）求a的值；（2）函数f (x)能否在x＝1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由．

（3）当1 < x < 2时，试比较与
大小．

四．选作题（22.23两选一）

22．（10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲

已知：曲线
的极坐标方程为：

，直线
的参数方程为：
（为参数）

求曲线
与直线
的普通方程；

若直线
与曲线
相切，求值。

23．（10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
若函数
的定义域为，试求实数的最大值。

数学试题答案（理）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把答案填在答题卷的相应位置。

1．已知集合
，则S∩T等于（Ｂ ）

A
　　　　　Ｂ　

Ｃ　
　　　　Ｄ　

2．复数
在复平面上对应的点不可能位于（ C ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.已知各项均为正数的等比数列
中，
成等差数列，则
（ A ）

A. 27 B.3 C.
或3 D.1或27

4.已知
,则
（ C ）

A．

B．
C．
D．

5．已知向量a，b满足｜a｜＝1，a⊥b，则a－2b在a方向上的投影为( A)

A．1 B．
C．－1 D．

6. 如图所示的程序框图的运行结果为
，那么判断框中应填入的关于的条件是( A )

A．
B．
C．
D．

7．给出下列四个结论：

①若a，b∈[0，1]，则不等式
≤1成立的概率为
；

②由曲线y＝
与y＝
所围成的封闭图形的面积为0．5；

③已知随机变量ξ服从正态分布N（3，
），若P（ξ≤5）＝m，则P（ξ≤1）＝1－m；

④
的展开式中常数项为
．其中正确结论的个数为( C)

A．1 B．2 C．3 D．4

8.有5 盆不同菊花, 其中黄菊花2 盆、 白菊花2 盆、 红菊花1 盆,现把它们摆放成一排, 要求2 盆黄菊花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻, 则这5 盆花不同的摆放种数是B

A．12 B．24 C．36 D．48

9．设
是
的展开式中项的系数（
），若
，则
的最大值是( D )

A．
B．
C．
D．

10．在锐角三角形
中，
分别为内角
的对边，若
，给出下列命题：①
；②
；③
．其中正确的个数是（ C ）

A． B． C． D．

11、已知圆
，直线
，点
在直线
上．若存在圆
上的点
，使
（
为坐标原点），则
的取值范围是 （ B ）

A、
B、
C、
D、

12.定义在上的可导函数
，当
时，
恒成立
则
的大小关系为（A ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。请把答案填在答题卷的相应位置。

13.设
,在约束条件
下,目标函数
的最大值等于,则___
______．

14．已知函数
,另外两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率,则
取值范围是 （-2 ，
） 。

15.在三棱锥
中，底面
为边长为的正三角形，顶点在底面
上的射

影为
的中心， 若为
的中点，且直线
与底面
所成角的正切值为

，则三棱锥
外接球的表面积为__
________．

.

16、设函数
的定义域为，如果存在非零常数，对于任意
，都有
，则称函数
是“似周期函数”，非零常数为函数
的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：

①如果“似周期函数”
的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；

②函数
是“似周期函数”； ③函数
是“似周期函数”；

④如果函数
是“似周期函数”，那么“
”．

其中是真命题的序号是①③④ ．（写出所有满足条件的命题序号）

三、解答题

17、（本小题满分12分）已知函数
.

（1）求函数
的单调增区间；

（2）在
中，
分别是角
的对边，且
，
，求
的面积的最大值.

解：函数
=
=

=
由2kπ?
＜2x+
＜2kπ+