2015年南昌市八一中学高三三模试卷理科数学

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.)

1、设复数
为纯虚数，则实数=（ ）

A．-2 B．2 C．-1 D．1

2、 已知命题
，命题
，则（ ）

A.命题
是假命题 B.命题
是真命题

C.命题
是真命题 D.命题
是假命题

3、已知某随机变量X的概率密度函数为P(x)=
,则随机变量X在区间(1,2)内的概率为( )

A．e2+e B．
C．e2-e D．

4．下列命题中正确的是（ ）

A.如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行

B.过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直

C.平面不垂直平面
，但平面内存在直线垂直于平面

D.若直线不垂直于平面，则在平面内不存在与垂直的直线

5．设
，函数

的图象向左平移

个单位后，得到下面的图像，则
的值为（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

6、ABCDEF 6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A,B和C,D同学分别穿着白色和黑色文化衫，E和F分别穿着红色和橙色的文化衫.若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为( )

A.72 B.192 C. 112 D.160

7、 设函数
的导函数为
，对任意
R都有
成立，则（ ）

A．
B.

C．
D.
的大小不确定

8、过双曲线
=1（a>0，b>0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若T为线段FP的中点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

A．x±y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±2y=0

9、已知
则
的值( )

A．随着k的增大而增大 B．有时随着k的增大而增大，有时随着k的增大而减小

C．随着k的增大而减小 D．是一个与k无关的常数

10、已知符号函数
，则函数
的零点个数为( )

A.1???????? B.2??????? C.3? D.4

11、平面α、β、γ两两互相垂直，点A∈α，点A到β、γ的距离都是3，P是α内的动点，P到β的距离是到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到γ的距离的最小值是( )

A． 3－ B．3+ C．1 D．3

12、定义在R上的函数
是增函数，且函数
的图像关于（3，0）成中心对称，若
满足不等式
，则当
时，
的取值范围是( )

A．
B．[4，16] C．
D．

第II卷

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).

13、右面程序框图中，已知f0(x)=xex，则输出的结果是___ __；

已知{x1, x2, x3, x4}{x>0|(x-3)sinπx=1}, 则x1+x2+x3+x4的最小值为___ __；

内接于以
为圆心，1为半径的圆，且
，

则该
的面积___ __；

某几何体的三视图如图，若该几何体的各顶点都在一个

球面上，则此球的表面积为___ __；

（
，其中R为三角形外接圆半径）

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

17、（本小题满分12分）在各项均为正数的等比数列
中, 已知
, 且
,
,
成等差数列．

（1）求数列
的通项公式； （2）设
,求数列
的前项和
．

18.（本小题满分12分）已知某几何体直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，

（1）求证：

； （2）
；

（3）设
为
中点，在
边上找一点，使
//平面
并求

19、（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：

,
,
，
，
，
.

（Ⅰ）从中任意拿取张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；

（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数
的分布列和数学期望．

20、（本小题满分12分）定长为3的线段AB两端点A、B分别在轴，轴上滑动，M在线段AB上，且

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）设过
且不垂直于坐标轴的动直线
交轨迹C于A、B两点，问：线段
上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明。

21、（本小题满分12分）已知函数

（I）当
的单调区间；

（II）若函数
的最小值；

（III）若对任意给定的
，使得

的取值范围。

四、选做题(本题满分10分。请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分)

22、（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲．

如图，在RtΔABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB.

(Ⅰ)求证：AC是ΔBDE的外接圆的切线；(Ⅱ)若AD=
，AE=6,求EC的长.

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程．

曲线C的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
(t为参数，0≤＜).

(Ⅰ)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；

(Ⅱ)若直线
经过点(1,0)，求直线
被曲线C截得的线段AB的长.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．

设函数
，
．

求不等式
的解集；

如果关于的不等式
在上恒成立，求实数的取值范围．

2015新课标高考数学模拟试卷答案

1－5ABDBBB CBAAAD 13、2014e； 14、12；15、
； 16、

17、（1）设数列
的公比为，由题意得

且
即
解得
或
（舍去），

所以数列
的通项公式为
．

（2）由（Ⅰ）可得
所以

所以

所以

两式相减得

即
．

18、解：（1）证明∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， ∴BA，BC，BB1两两垂直。 ……………2分

以BA，BC，BB1分别为
轴建立空间直角坐标系，则N（4,4,0），B1（0, 8,0），C1（0,8,4），C（0,0,4）∵
=（4,4,0）·（-4,4,0）=-16+16=0
=（4,4,0）·（0,0,4）=0 ∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1B1N； ………… 4分

（II）设
为平面
的一个法向量，

则

则
………………8分

（III）∵M（2,0,0）.设P(0,0,a)为BC上一点,则
, ∵MP//平面CNB1,

∴

又
,

∴当PB=1时MP//平面CNB1
……12分（用几何法参照酙情给分。）……12分

19、解：（Ⅰ）
为奇函数；
为偶函数；
为偶函数；

为奇函数；
为偶函数;
为奇函数

所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本事件总数为

满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为

故所求概率为
………………………………………………6分

（Ⅱ）
可取1，2，3，4． …………………………………………………7分

，

；

故
的分布列为

1

2

3

4

















的数学期望为
………………12分

20. (1)设

则
，
……4分

（2）存在满足条件的D点．设满足条件的点D（0，m），

则
， 设l的方程为：
，代入椭圆方程，

，……5分

设

以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，

的方向向量为（1，k），
……8分

……10分

， 存在满足条件的点D．……12分

21、解：（I）当
…………1分

由
由

故
…………2分

（II）因为
上恒成立不可能，

故要使函数
上无零点，只要对任意的
恒成立，

即对
恒成立。 …………3分

令
则
…………5分

综上，若函数

…………7分

（III）

所以，函数
…………8分

故
① …………10分

此时，当
的变化情况如下：











—

0

+







最小值








…12分

23、（1）
顶点在原点，对称轴为x轴的抛物线 （2）8

24、
;