南昌市十所省重点中学2015年二模突破冲刺交流试卷（09）

高三数学（理科）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数
（是虚数单位）的虚部是（ ）

A． B． C．
D．

3．下列命题中正确命题的个数是（ ）

（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；

（2）在回归直线
中，增加1个单位时，一定减少2个单位；

（3）若
为假命题，则
均为假命题；

（4）命题
使得
，则
均有
；

（5）设随机变量
服从正态分布
，若
，则
；

A．2 B．3 C．4 D．5

4．已知sin2α＝－
，α∈（－
，0），则sinα＋cosα＝（ ）

A．－
B．
C．－
D．

5．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是
,则（ ）

A．
B．
　　C．
D．

6．若从区间
内随机取两个数，则这两个数之积不小于的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．函数
的最小正周期是，若其图象向右

平移
个单位后得到的函数为奇函数，则函数
（ ）

A．关于点
对称 B．关于点
对称

C．关于直线
对称 D．关于直线
对称

8．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．

图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球

的表面积是( )

A． 　B．
C．
　 D．

9．已知双曲线
的左、右焦点分别
，
，若双曲线上存在点P，使得
，则该曲线的离心率的取值范围是（ ）

A．（1，
） B．
C．
D．

10．对于函数
，部分与的对应关系如下表：

1

2

3

4

5

6

7

8

9





3

7

5

9

6

1

8

2

4





数列
满足：
，且对于任意
，点
都在函数
的图像上，则
( )

A．7554 B．7549 C．7546 D．7539

11．设椭圆方程为
，右焦点
,方程
的两实根分别为
，则
必在（ ）

A．圆
内 B．圆
外

C．圆
上 D．圆
与圆
形成的圆环之间

12．已知函数
，若函数
有且只有两个零点，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．设
，则
．

14．已知实数x，y满足
，则
的最大值为 ．

15．在
中，内角A、B、C的对边分别是
，若
，且

，则
________．

16．如图所示，在圆
中，
与
是夹角为
的两条直径，

分别是圆
与直径
上的动点，若
，则

的取值范围是________．

三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知数列
为等差数列，首项
，公差
．若
成等比数列，且
，
，

.

（1）求数列
的通项公式
；

（2）设
，求和
.

18．（本小题满分12分）

某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：

日销售量

1

1.5

2



天数

10

25

15



频率

0.2

a

b



 若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．

（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1．5吨的概率；

（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱柱
中，底面
是等腰梯形，
∥
，
,
,顶点
在底面
内的射影恰为点
．

(Ⅰ)求证：
；

(Ⅱ)若直线
与直线
所成的角为
,求平面
与

平面
所成角（锐角）的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知抛物线
的焦点为，过的直线
交抛物线
于点
，当直线
的倾斜角是
时，
的中垂线交轴于点
.

（1）求的值；

（2）以
为直径的圆交轴于点
，记劣弧
的长度为
，

当直线
绕旋转时，求
的最大值.

21．（本小题满分12分）

设函数
．

(I)求函数
的单调区间；

(II)若方程

,有两个不相等的实数根
、
，求证：
.

选做题：请考生从第22、23、24题中任选一题做答，并按要求在答题卷上相应位置做好标志．多答按所答的首题进行评分．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示，已知
与⊙
相切，为切点，过点的割线交圆于
两点，弦
，
相交于点，为
上一点，且
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求
的长．

23．（本题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程.

坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程
为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(Ⅰ)求圆C的极坐标方程；

(Ⅱ)射线
与圆C的交点为O、P两点，求P点的极坐标.

24．（本题满分10分）选修4—5: 不等式选讲.

(Ⅰ)设函数
.证明：
；

(Ⅱ)若实数
满足
,求证:

参考答案

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

DCABA BCBDA DC

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．30 14．
15．
16．

三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）

17．（12分）

解：(1)

,
……………6分

(2)

……………12分

18．(12分)

解：（Ⅰ）
，
，………………………2分

依题意，随机选取一天，销售量为
吨的概率
，

设5天中该种商品有天的销售量为1.5吨，则
，

．…………5分

（Ⅱ）
的可能取值为
，………………7分

则：
，
，

,
,

，

所以
的分布列为：

4

5

6

7

8





0.04

0.2

0.37

0.3

0.09



………10分

的数学期望
．……12分

19．(12分)

解：(Ⅰ)证明：连接
,则
平面
，∴

在等腰梯形
中，连接

∵
，
，
∥
∴

又
∴
平面
∴
………………6分

(Ⅱ)解法一：∵
∥
∴

∵
∴

在底面
中作
,连接
,则
,

所以
为平面
与平面
所成角的一个平面角

在
中,
,

∴
∴

即平面
与平面
所成角(锐角)的余弦函数值为
……………12分

解法二：由(Ⅰ)知
、
、
两俩垂直，

∵
∥
∴
∴

在等腰梯形
中,连接
因
,

∥
，

所以
，建立如图空间直角坐标系，

则
，
，

设平面
的一个法向量

由
得

可得平面
的一个法向量
．

又
为平面
的一个法向量．

因此

所以平面
和平面
所成的角(锐角)的余弦值为
.

20．（12分）

解：（1）
当
的倾斜角为
时，
的方程为

设

得

得
中点为

中垂线为