鹰潭市2015届高三第二次模拟考试数学试题(文科)

命题人：鹰潭一中 黄鹤飞 审题人：贵溪一中 顾勤

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1．设集合
，
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数
所对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．若
则
（ ）

A.
B.
C.
D.

4．设
则
是“
”成立的（ ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件

5．若向量
满足
且
，则向量
的夹角为（ ）

A.
B.
C.
D.

6．下列关于函数
的图象的叙述正确的是（ ）

A.关于原点对称 B.关于y轴对称

C.关于直线
对称 D.关于点
对称

7．某几何体的三视图如图1所示，该几何体的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

8．已知点
及抛物线
，若抛物线上点满足

，则的最大值为（ ）

A．
B. C.
D.

9．已知各项不为
的等差数列
满足
,数列
是等比数列，且
,则
等于( )

A. B. C. D.

10．鹰潭市某学校计划招聘男教师名,女教师名,和须满足约束条件
，则该校招聘的教师最多（ ）名

A．
B．
C．
D．

11．如图2，已知双曲线：

的右顶点为
为坐标原

点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点
．若

且
，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
对于
使得
成立，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

13．现在所有旅客购买火车票必须实行实名制,据不完全统计共有28种有效证件可用于窗口的实名购票,常用的有效证件有:身份证、户口簿、军人证、教师证等,对2015年春运期间120名购票的旅客进行调查后得到下表:

已知
,则使用教师证购票的旅客的概率大约为_________.

14．设
为等比数列
的前项和，
，则

15．已知体积为
的正三棱锥
的外接球的球心为
，满足
,则三棱锥外接球的体积为 ．

16．对于三次函数
，给出定义：设
是
的导函数，
是
的导函数，则
叫
的一阶导数，
叫
的二阶导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．有个同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数
，则
＝

三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在
中，角
所对的边为
，且满足

.

（1）求角的值；

（2）若
且
，求
的取值范围

18．（本小题满分12分）

从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图3的频率分布直方图，从左到右各组的频数依次记为
，
，
，
，
．

⑴求图3中的值；

⑵图4是统计图3中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果
；

⑶从质量指标值分布在
、
的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标值之差大于10的概率．

19．（本小题满分12分）

如图5，直角梯形
，
，
，
，点为
的中点，将
沿
折起，使折起后的平面
与平面
垂直（如图6）．在图6所示的几何体
中：

⑴求证：
平面
；

⑵点在棱
上，且满足
平面
，求几何体
的体积．

20．（本小题满分12分）

如图7，已知椭圆
：
的离心率为
，以椭圆
的左顶点为圆心作圆：
，设圆与椭圆
交于点
与点
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设点是椭圆
上异于
,
的任意一点，且直线
分别与轴交于点
，
为坐标原点，求
的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的极值点；

（Ⅱ）若
恒成立，求的取值范围.

【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图8，
边AB上的高，
（1）证明：、、、
四点共圆；

（2）若
，
，求
的长.

23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，圆锥曲线
的参数方程为
（
为参数），定点
，
、
是圆锥曲线
的左、右焦点．

以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点
且平行于直线
的直线
的极坐标方程；

设
中直线
与圆锥曲线
交于
，两点，求
．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知不等式
的解集与关于的不等式
的解集相等．

（Ⅰ）求实数，
的值；

（Ⅱ）求函数
的最大值，以及取得最大值时的值．

绝密★启用前

鹰潭市2015年高三第二次模拟考试

数学试题(文科)答案

一、选择题：1—6 BCACBD 7-12 DCDCBA

二．填空题：13.
14.
15.
16.

三、解答题：

17.解（1）由已知

得
,化简得
，………4分

故
或
……………5分

（2）因为
，所以
，由正弦定理
，

得
,……………7分

……………9分

因为
，所以
即
,……………10分

所以
……………12分

18.解：⑴依题意，

解得
……3分

⑵
，
，

，
，

……6分

输出的
……8分

⑶记质量指标在
的4件产品为
，
，
，
，质量指标在
的1件产品为
，则从5件产品中任取2件产品的结果为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共10种……10分

记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，则事件A中包含的基本事件为：
，
，
，
共4种……11分

∴
……12分

19．⑴证明：
……1分，

，
，

……3分

∵
，∴
（
）……4分

∵平面
平面
，平面
平面
，

∴
平面
……6分

⑵∵
平面
，
平面
，平面
平面
，

∴
……8分

∵点为
的中点，∴
为
的中位线

由⑴知，几何体
的体积
……10分

，
……12分

20．解：（1）依题意，得
，
，
；

故椭圆
的方程为
．……………5分

（2）点
与点
关于轴对称，设
，
，
，则直线
的方程为：
，

令
，得
， 同理：
，

故
（**） ……………9分

又点
与点在椭圆上，故
，
，

代入（**）式，得：

．

所以
，
的最小值为4…………12分

21．解:（Ⅰ） 当
时，
.

当
时，

，

所以
在
上单调递增，无极值点……………2分

② 当
时，
.

令
，得
，

，

则由
得
，
且
，

当
时，
；当
时，
；当
时，
，

所以
在区间
上单调递减，在
上单调递增；在
上单调递减.

综上所述,当
时,
的极小值点为
和
，极大值点为
；……………6分

（Ⅱ）函数
的定义域为
.由
，可得
…（*）

（ⅰ）当
时，
，
，不等式（*）恒成立；………7分

（ⅱ）当
时，
，即
，所以
；……………8分

（ⅲ）当
时，不等式（*）恒成立等价于
恒成立或
恒成立.

令
,则
.令
,则
,

而
，所以
，