唐山市2014—2015学年度高三年级第三次模拟考试

文科数学参考答案

一、选择题：

A卷：BDCAC BCBCB AD

B卷：ADCBC BCACB BD

二、填空题：

（13）24； （14）±； （15）4； （16）2．

三、解答题：

（17）（Ⅰ）

证明：因为2c2－2a2＝b2，

所以2ccosA－2acosC＝2c·－2a·

＝－＝＝b． …5分

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）和正弦定理以及sinB＝sin(A＋C)得

2sinCcosA－2sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC，

即sinCcosA＝3sinAcosC，

又cosAcosC≠0，所以tanC＝3tanA＝1，故C＝45°． …12分

（18）解：

（Ⅰ）＝＝77．…5分

（Ⅱ）从得分在70~80之间的学生中随机抽取两名学生的基本事件：{75，77}，{75，73}，

{75，78}，{75，79}，{77，73}，{77，78}，{77，79}，{73，78}，{73，79}，{78，79}共10个；其中满足|－|≤1的事件：{75，77}，{75，78}，{75，79}，{77，78}，{77，79}，{73，79}共6个．所以满足|－|≤1的概率P＝＝. …12分

（19）解：

（Ⅰ）证明：

取BC中点O，连OA，OA1．

因为侧面BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，BC⊥AA1，

因为截面A1BC是等边三角形，所以BC⊥OA1，

所以BC⊥平面A1OA，BC⊥OA，因此，AB＝AC． …5分

（Ⅱ）设点A到截面A1BC的距离为d，

由VA－A1BC＝VA1－ABC得S△A1BC×d＝S△ABC×1，

得BC×OA1×d＝BC×OA×1，得d＝．

由AB⊥AC，AB＝AC得OA＝BC，

又OA1＝BC，故d＝．

因为点A与点C1到截面A1BC的距离相等，

所以点C1到截面A1BC的距离为．…12分

（20）解：

（Ⅰ）由题意可得：＋＝1， …1分

将x＋2y－4＝0代入椭圆C： (3a2＋4b2)x2－8a2x＋16a2－4a2b2＝0

由Δ＝0得3a2＋4b2＝16， …3分

联立解得：a2＝4，b2＝1．

于是椭圆C的方程为：＋y2＝1． …5分

（II）设直线l：y＝kx＋m，M(x0，y0)．

将直线l的方程代入椭圆C得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， …6分

令Δ＝0，得m2＝4k2＋1，且x＝．所以|OM|2＝． ①

又|OH|2＝＝， ② …10分

②与|OH|＝|OM|联立整理得：16k4－8k2＋1＝0，

解得：k＝±． …12分

（21）解：

（Ⅰ）f((x)＝ex(x－a)－x＋a＝(x－a)(ex－1)，

当x∈(－∞，0)时，f((x)＞0, f(x)单增；

当x∈(0，a)时，f((x)＜0，f(x)单减；

当x∈(a，＋∞)时，f((x)＞0，f(x)单增．

所以，f(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)分别单调递增；在(0，a)单调递减． …6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：

当a≥1时，f(x)在(0，1)单调递减，f(x)＜f(0)＝－a－1． …8分

当0＜a＜1时，f(x)在(0，a)单调递减；在(a，1)单调递增，

则f(x)＜－a－1当且仅当f(1)＝－ae＋a－≤－a－1，

解得：≤a＜1．

综上：a的取值范围是[，＋∞)． …12分

（22）解：（Ⅰ）证明：

延长DC与圆O交于点M，因为CD⊥AB，

所以CD2＝CD·CM＝AC·BC，

因为Rt△ACE∽Rt△GBC，所以＝，

即AC·BC＝CE·CG，故CD2＝CE·CG． …5分

（Ⅱ）

因为AC＝CO＝1，所以CD2＝AC·BC＝3，

又CD＝3CE，由（Ⅰ）得CG＝3CD，

GT2＝GM·GD＝(CG＋CM)·(CG－CD)＝(CG＋CD)·(CG－CD)

＝CG2－CD2＝8CD2＝24，故GT＝2． …10分

（23）解：

（Ⅰ）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入已知，分别得C和l的极坐标方程为

C：ρ＝4cosθ（0≤θ≤)，l：ρcosθ－2ρsinθ－2＝0． …4分

（Ⅱ）依题意，l经过半圆C的圆心C(2，0)．

设点B的极角为α，则tanα＝，进而求得cosα＝ …6分

由C的极坐标方程得|OB|＝4cosα＝． …10分

（24）解：

（Ⅰ）若a＝1，f(x)＝

由f(x)的单调性及f(－3)＝f(2)＝5，得f(x)≤5的解集为{x|－3≤x≤2}．…5分

（Ⅱ）f(x)＝

当x∈(－∞，－2]时，f(x)单调递减；当x∈[，＋∞)时，f(x)单调递增，

又f(x)的图象连续不断，所以f(x)≥2当且仅当f(－1)＝2a＋1≥2，且f()＝＋2≥2，得a≥， 故a的最小值为． …10分