宁波效实中学2015届高考模拟测试卷数学（文）试题

说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

柱体的体积公式：V=Sh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.

锥体的体积公式：V=
Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.

球的表面积公式：S=4πR2 ，其中R表示球的半径.

球的体积公式：V=
πR3 ，其中R表示球的半径.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数
，则

A．
B．
C．
D．

2．已知是等比数列
的公比，则“
”是“数列
是递增数列”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知函数
是定义在上的奇函数，若
，则

A．
B．
C．
D．

4．设不等式组
表示的平面区域为
，若直线
上存在区域
内的点，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

5．边长为的正四面体的三视图中，俯视图为边长为的正三角形，则正视图的面积的取值范围是

A．
B．
C．
D．

6. 记为坐标原点，已知向量
，
，点满足
，则
的取值范围为

（A）
（B）
　 （C）
（D）

7．设
，点为双曲线

，
的左顶点，线段
交双曲线一条渐近线于
点，且满足
，则该双曲线的离心率为

A．
B．

C．
D．

8．已知函数
在
上的最大值为
，则
的最小值是

A． B．
C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、 填空题: 本大题共7小题, 第9题每空2分，10—12题每空3分，13—15题每空4分, 共36分．

9．已知集合
，则

▲ ；
▲ ；
▲ ．

10．数列
的前项和
满足
，若
，则
▲ ，数列
的前项和
▲ ．

11.设
分别是椭圆
的左右焦点，为椭圆上任一点，则
的取值范围是 ▲ ，若
是
的中点，
，则
▲ ．

12．已知函数
，则
的对称中心是　 ▲ 　，将函数
的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍（纵坐标不变），得到函数
,若
,则
的值是 ▲ ．

13．已知三棱锥
的顶点都在球
的球面上，

，

，则球
的表面积是 ▲ ．

14．
的三边
成等差数列，且
，则
的最大值是 ▲ ．

15．过点
引直线
与曲线
相交于、两点，
为坐标原点，当
面积取得最大值时，直线
斜率为 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分15分）

已知向量
，
.若函数
．

（Ⅰ）求
时，函数
的值域；

（Ⅱ） 在
中，
分别是角
的对边，若
且
,求
边上中线长的最大值．

17．（本题满分15分）

已知等比数列
满足
，且
是
的等差中项.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，
，求使
成立的正整数的最小值.

18．（本题满分15分）

如图，三棱锥
中，
平面
．
，点
，
分别为
，
的中点．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）在线段
上的点，且
.

①确定点的位置；

②求直线
与平面
所成角的正切值．

19．（本题满分15分）

已知抛物线
的焦点为，
为上异于原点的任意一点，为的正半轴上的点，且有
. 若
时，的横坐标为.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）直线
交于另一点，直线
交

于另一点
. 试求
的面积
关于
的

函数关系式
，并求其最小值.

20．（本题满分14分）

考查函数
在其定义域内的单调性情况：

若
在内呈先减再增，则称
为“型”函数；若
在内呈减-增-减增，则称
为“
型”函数. 给定函数
.

（Ⅰ）试写出这样的一个实数对
，使函数
为上的“型”函数，且
为上的“
型”函数.（写出你认为正确的一个即可，不必证明）

（Ⅱ）若
为上的“
型”函数，若存在实数，使
与
能同时成立，求实数
的取值范围.

参考答案

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．

1．C 2．A 3．D 4．C 5．C 6. A 7．D 8．B

二、 填空题: 本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．

9．
，
，

10．
，

11.
；4

12．
,

13． 12

14．

15．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分15分）

答案：（1）
……3分，
的范围是
…….5分

值域
………7分；

（2）
………9分，由
得
………………12分

则中线长为
……………………..15分

17．（本题满分15分）

（1）

（舍）或
，
………………7分

（2）
，

，

，
，又
，
………………8分

18．如图，三棱锥
中，
平面
．
，点
，
分别为
，
的中点．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）在线段
上的点，且
.

①确定点的位置；

②求直线
与平面
所成角的正切值．

答案：

(1)
5分

(2)连
交
于，则是
的重心，且
，

所以
， 9分

作
于
，则
，所以
，

所以，
是直线
与平面
所成角. 12分

且
,
,
,
.

所以，直线
与平面
所成角的正切值为
. 15分

（本题亦可用空间向量求解）

19．（本题满分15分）

解：（1）由题意知
，设
，

因为
，由抛物线的定义得：
，

解得
,所以抛物线的方程为
. …………5分

（2）知
, 设
，因为
，

则
，由
,得
，故
，…………6分

设直线
方程为：
，联立
，得：

，设
，则
，从而
，

， 由抛物线的定义得

……9分

由于
，直线
的方程为
，

由于
，可得
.

代入抛物线方程得
，设

所以
，可求得
，
， ………11分

所以点到直线
：
的距离为，其中

. 则
的面积为

， ………14分

当且仅当
,即
时等号成立.

所以
的面积的最小值为16. ………15分

20．（本题满分14分）

解析：（Ⅰ）结合图像，若
为上的“型”函数，

则
的对称轴
，即

为上的“
型”函数，则
，即
.