2015年全国高等学校招生统一考试汉阳一中仿真模拟（二）数学（文史类）试题

★祝考试顺利★

考试时间：2015年5月21日下午15:00—17:00 试卷满分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数

（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知向量
，
，若
∥
，则实数
= （ ）

A．
B．－2 C．－7 D．3

3．在△ABC中，
，
△ABC的面积等于 （ ）

A－
B.
C.
或
D.

4．下列关于函数

（ ）

A．

B．

C．

D．

5．右图是一个几何体的三视图，其中正（主）视图、

侧（左）视图都是矩形，则该几何体的体积是 （ ）

A．24　 B．18

C．16 D．12

6．

，
，
，

A.
B.
C.
D.

7．已知
的导函数是
，

，则有 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．设
，将这5个数依次输入下面的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是 （ ）

A．S=2,这5个数据的方差 B．S=2,这5个数据的平均数

C．S=10,这5个数据的方差 D．S=10,这5个数据的平均数

9.

，则下列结论中正确的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

10．已知定义在上的奇函数
，当
时，
则关于的方程
的实数根个数为 （ ）

A、6 B、7 C、8 D、9

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

11.函数
的定义域是

12.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），
.
则实数的

.

13.区域
，定点A（3，1），在M内任取一点P，使得
的概率为

14. 已知抛物线
,

是抛物线
,

，

+

15．若是第二象限角，其终边上一点
，且
，则
．

16. 给出下列四个命题：

①
的充分不必要条件是
；

②
;

③已知点
若
，则动点的轨迹为双曲线的一支；

④若
，则
其中所有真命题的序号是

17. 设
、
是双曲线
的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使
（
为坐标原点），且
，则双曲线的离心率为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18. 设
，其中
，已知
满足

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）求不等式
的解集。

19. 已知等差数列
满足
、
、
成等比数列，数列
的前项和
（其中为正常数）

（1）求
的前项和
；

（2）已知
，
，求

20．从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155㎝和195㎝之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组
，第二组
、…、第八组
，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。

（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180㎝以上（含180㎝）的人数；

（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；

（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为
，求满足：
的事件概率。

21．若函数
是定义域D内的某个区间上的增函数，且
在上是减函数，则称
是上的“单反减函数”，已知

（1）判断
在
上是否是“单反减函数”；

（2）若
是
上的“单反减函数”，求实数的取值范围．

22．已知椭圆C：
的离心率为
，
是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且?PF1F2的周长是

（1）求椭圆C的方程；

（2）设圆T：
，过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，当圆心在轴上移动且
时，求EF的斜率的取值范围．

数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

C

D

D

C

A

A

A

B



二、填空题：

11.
12.
13.

14.
15.
16. ② 17. 5

三、解答题：

18. 解：（1）

………………2分

……………3分

令
，得

的单调递增区间是
…………7分

（2）∵
，∴

不等式的解集是
……………12分

19. 解：（1）设
的公差是d，则

或
…………………4分

当d=1时,

当
时,
……………6分

（2）

当
时，

当
时，

…………8分

当
时，
……………9分

当
时

…………………11分

…………………12分

20．（1）直方图的前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）5=0.82

后三组的频率为1-0.82=0.18，故这所学校高三男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为8000.18=144（人）

（2）由直方图得后三组的人数为0.1850=9（人），第八组频率为0.0085=0.04，人数为0.0450=2（人），设第六组人数为m，则第七组人数为9-2-m=7-m，又m+2=2(7-m),所以m=4，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08、0.06；

（3）由（2）知身高在
内的人数为4人，身高在
内的人数为2人，

若
时有，有6种情况；若
时有，有1种情况；若
分别在
和
内时，设
表示身高在
的4个人，
表示身高在
的2个人，若抽取的两个人在
中，

有
共6中情况，若抽取两人中一个来自于
，一个来自于
中，

有
共8中情况，故基本事件总数为6+1+8=15种，事件“
”所包含的基本事件有7种，故所求概率为
。

21．解：（1）由于f（x）=lnx，在（0，1]上是增函数，且F（x）=
=
，

∵F′（x）=
，∴当x∈（0，1]时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，

∴f（x）在（0，1]上不是“单反减函数”；?????????????6分

（2）∵g（x）=2x+
+alnx，

∴g′（x）=2﹣
+
=
，????????????????8分

∵g（x）是[1，+∞）上的“单反减函数”，

∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，

∴g′（1）≥0，∴a≥0，?????????????????????9分

又G（x）=
=2+
+
在[1，+∞）上是减函数，

∴G′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即﹣
+
≤0在[1，+∞）恒成立，

即ax﹣axlnx﹣4≤0在[1，+∞）恒成立，??????????????????11分

令p（x）=ax﹣axlnx﹣4则p′（x）=﹣alnx，

∴
解得0≤a≤4，

综上所述0≤a≤4．????????????????14分

22．解：（1）由
，可知a=4b，

因为
的周长是
，

所以
,

所以a=4,b=1,

所求椭圆方程为
…………………………4分

（2）椭圆的上顶点为M(0,1)，设过点M与圆T相切的直线方程为
，

由直线
与T相切可知
，

即

，…………6分

由
得

同理
………8分

……………11分

当1

……………14分