2015海南高考压轴卷文科数学

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.集合
，
，若
，则实数的值为（ ）

A.2 B.
C.
D.

2.正弦曲线
在点
的切线方程是（ ）

A.
B.

C.
D.

3.若向量
,又
的夹角为锐角,则实数的取值范围为( )

A.
B.
C.
D.

4.已知是虚数单位，
，且
是纯虚数，则
的值为（ ）

A. B.
C. D.

5.在平面直角坐标系
中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为
，则它的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

6.如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（ ）

A.4 B.2

C.
D.

7. 已知
表示平面，
表示直线，给出下列四个命题：

①若∥
，
则∥ ②若
，则

③若
∥，则∥
④∥，∥
，
，则

其中错误的命题个数为（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

8.现有下列命题:①命题“
”的否定是“
”；②若
，
，则
；③直线
与
互相垂直的条件为
；④如果抛物线
的准线方程为
，则
.其中正确的命题的序号为（ ）

A.②④ B.①② C.③④ D.②③

9.已知递增数列
各项均是正整数，且满足
，则
的值为（ ）

A.2 B.6 C. 8 D.9

10.设函数
(
,给出以下四个论断： ①它的图象关于直线
对称；②它的图象关于点（
对称；③它的周期是；④在区间
上是增函数.以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（ ）

A.①③
②④或②③
①④ B.①③
②④ C. ②③
①④ D.①④
②③

11.江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10云南盈江地震”中失学的儿童，准备在江苏省五台山体育场举行多场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价分别为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张.设是门票的总收入，经预算扣除其它各项开支后，该俱乐部的纯收入函数模型为
，则当这三种门票的张数分别为（ ）万张时，可以为失学儿童募捐的纯收入最大.

A.1、0.、0.8 B.0.6、0.8、1 C. 0.6、1、0.8 D.0.6、0.6、0.8

12. “已知关于的不等式
的解集为
，解关于的不等式
.”给出如下的一种解法：

参考上述解法：若关于的不等式
的解集为
，则关于的不等式
的解集为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、（本大题共4小题，每小题5分）

13.已知函数
是奇函数,则实数
.

14. 已知一流程图如下图所示，该程序运行后，为使输出的b值为
，则循环体的判断框内①处应填 ．

15.设函数
若
，则实数的取值范围是 .

16.如图放置的等腰直角三角形
薄片（
）沿着轴滚动，设顶点
的轨迹方程是
，则
在其相邻两个零点间的图象与轴所围成的区域的面积为 .

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

组号

分组

频数

频率



第1组



5

0.050



第2组



①

0.350



第3组



30

②



第4组



20

0.200



第5组



10

0.100



合计

100

1.00





18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
是矩形，
，
，
，点是
的中点，点在
上移动.

（1）求三棱锥
的体积；

（2）当点为
的中点时，试判断
与平面
的关系，并说明理由；

（3）求证：
.

19.（本小题满分12分）已知单调递减的等比数列
满足
是等差中项.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
的前n项和Sn.

20.（本小题满分12分）已知椭圆的左右两个焦点分别为
、
，点在椭圆
上，且
，
，
.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）若直线
过圆
的圆心
交椭圆于、两点，且、关于点
对称，求直线
的方程；

（3）若以椭圆的长轴为直径作圆
，为该圆
上异于长轴端点的任意点，再过原点作直线
的垂线交椭圆的右准线交于点
，试判断直线
与圆
的位置关系，并给出证明．

21.（本小题满分12分）设函数
（
），
．

（1）若函数
图象上的点到直线
距离的最小值为
，求的值；

（2）关于的不等式
的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；

（3）对于函数
与
定义域上的任意实数，若存在常数
，使得
和

都成立，则称直线
为函数
与
的“分界线”．设
，
，

试探究
与
是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题给分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是⊙
的直径，
为圆上一点，
，垂足为，点
为⊙
上任一点，
交于点，
交
于点．

求证：（1）
；

（2）
．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程为
，曲线
的极坐标方程为
，曲线
，
相交于
，
两

点.

（1）把曲线
，
的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）求弦
的长度.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．

（１）当
时，求函数
的定义域；

（２）若函数
的定义域为，试求的取值范围．

2015海南高考压轴卷

文科数学答案

一、选择题

1.C 2.B 3.A 4.A 5.B 6.C 7.C 8.A 9.C 10.A 11.C 12.B

解析：

1.
，所以
，即
.故选C.

2.
,则
,即切线方程为
,整理得
.故选B.

3.
,则
,又
不共线,所以
,则
且
,所以实数的取值范围为
.故选A.

4.因为
是纯虚数，所以
.故

.故选A.

5.由题意，设双曲线的方程为
.渐进线方程
变形为
，所以
，即
，即
.所以
.故选B.

6. 由三角形的边长全为2，即底面三角形的高为
，所以左视图的面积为
.故选C.

7. 只有③是正确的.①若∥
，
则∥或异面； ②若
，则
或相交或异面；④∥，∥
，
，则
或
∥
.所以只有一个正确的，故选C.故选C.

8.①命题的否定为：“
”；②
；③由
，得
或
；④抛物线的标准方程为
，由准线方程为
，可得
，即
.故选A.

9. 若
，则
，与
矛盾，若
，则
，而
，所以
与数列
递增矛盾，于是
，得
，

，
，而
，所以
.故选C.

10.由函数
的周期是，可知
这

（1）若
的图像关于直线
对称，则
.

当
，且
时，
；当
时，
（
），与
矛盾.因此
.这时
.

由
可知
的图象关于点
对称；由
，得
，可知
在
上是增函数.综上可知：①③
②④是正确的命题.

（2）若
的图象关于点
对称，则
，又由
知
，这时
.

由
可知，直线
是
的对称轴；由（1）可知，
在
上是增函数.综上可知：②③
①④.故选A.

11. 设3元、5元、8元门票的张数分别为
，则有

整理得
（万元）.

当且仅当
时等号成立，解得
，所以
.

由于
为增函数，即此时也恰有最大值.

故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.故选C.

12. 由
的解集为
，得
的解集为
，即
的解集为
.故选B.

二、填空题

13.
14.3 15.
16.

解析：

13.因为
,所以
,即
,解得
.

14.
时进入循环此时
=21=2， =2时再进入循环此时
=22=4， =3时再进入循环此时
=24=16，所以=4时应跳出循环，即循环满足的条件为
，故填3.

15. 当
时,
,解得
;当
时,
,解得
,即不等式的解集是
.

16.作出点的轨迹中相邻两个零点间的图象，如图所示，其轨迹为两段圆弧，一段是以
为圆心，
为半径的四分之一圆弧；一段为以为圆心，
为半径，圆心角为
的圆弧.其中与轴围成的面积为
.

三、解答题

17. 解：（1）由题可知，第2组的频数为
人,

第3组的频率为
,频率分布直方图如右图所示.

（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:

第3组:
人；第4组:
人；

第5组:
人.

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.

（3）设第3组的3位同学为
,第4组的2位同学为
,第5组的1位同学为
,

则从六位同学中抽两位同学有15种可能，具体如下:
，
，
，
，
，

其中第4组的2位同学为
至少有一位同学入选的有:

9种可能.

所以其中第4组的2位同学为
至少有一位同学入选的概率为
.

18.解：（1）
，所以

.

（2）当点为
的中点时，
∥平面
，

理由如下：因为点
分别为
、
的中点，所以
∥
.

又因为
，
，所以
∥平面
.

（3）因为
，
，所以
.

又
，所以
.

因为
，所以
.

又
，所以
.

因
，点是
的中点，所以
.

又
，所以
，

又
，所以
.

19. 解：（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则

由②×7－①得：

所以

因为等比数列{an}为递减数列，

所以
，即

（2）
，

因为

所以

（
.

20. 解：(1)设
，因为点P在椭圆C上，所以
，

在直角
中，
故椭圆的半焦距

从而
， 所以椭圆
的方程为
.

（2）设、的坐标分别为
、
由圆的方程为
,所以圆心
的坐标为（－2，1）从而可设直线
的方程为
,代入椭圆
的方程得

因为A，B关于点M对称.所以
解得
，所以直线l的方程为
即
.(经检验，符合题意) .

（3）直线
与圆
相切．证明如下：易得椭圆右焦点为
，右准线为
．设点
，则有
，又
，∴直线
的方程为
，令
，得
，即
，

所以


，又
，于是有
，故
，∴直线
与圆
相切．

21. （1）解法一：设函数
图象上任意一点为
，则点到直线
的距离为
，当
，即
时，

，由
，解得
，或
，

又因为抛物线
与直线
相离，由
得
，

故
，即
，所以
，即
．

解法二：因为
，所以
，令
，

得
，此时
，则点
到直线
的距离为
，

即
，解之得
，或
．

（以下同解法一）

（2）解法一：不等式
的解集中的整数恰有3个，

等价于
恰有三个整数解，故
，

令
，由
且
，

所以函数
的一个零点在区间
，

则另一个零点一定在区间
内，

所以
解之得
，故所求的取值范围为
．

解法二：
恰有三个整数解，故
，即
，

因为
，

所以
，又因为
，

所以
，解之得
．

（3）设
，则
．

所以当
时，
；当
时，
．因此
时，
取得最小值
，

则
与
的图象在
处有公共点
．

设
与
存在 “分界线”，方程为
，即
，

由
在
恒成立，则
在
恒成立 ．

所以
恒成立，因此
．

下面证明
恒成立．

设
，则
．

所以当
时，
；当
时，
．

因此
时
取得最大值
，则
成立．

故所求“分界线”方程为：
．

选做题：

22.证明：（1）因为
，所以
，

所以
∽
，所以
.

（2）延长
与⊙
交于点
，由相交弦定理，

得
，且
.

所以
，由（1），得
.

23. 解：（1）曲线
：
（
）表示直线
．曲线
：
，
，

所以
，即
．

（2）圆心（3，0）到直线的距离
，
，所以弦长
=
．

24. （1）由题设知：
，

如图，在同一坐标系中作出函数
和
的

图象（如图所示）,知定义域为
.

（2）由题设知，当
时，恒有
，

即
， 又由（1）
，∴
．