2014/2015学年第二学期联盟学校高考仿真统一测试数学理科试题卷

命题：长河高中:程鹏 桐乡一中:冯晓华 海盐中学:陈国伟 余杭二中:王立峰

参考公式：

球的表面积公式
，其中R表示球的半径．

球的体积公式
，其中R表示球的半径．

柱体的体积公式
，其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高．

锥体的体积公式
，其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高．

台体的体积公式
，其中
分别表示台体的上、下底面积，
表示台体的高．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设∈R，则
是直线
与直线
垂直的 （ ▲ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2．命题P：“
”的否定
为（ ▲ ）

A.
B.

C.
D.

3. 函数
的图象如图所示，则函数
的图象大致是（ ▲ ）



A B C D

4．若函数
的图像向右平移
个单位后所的图像关于轴对称，则的值可以是（▲ ）

A. 7 B.8 C.9 D.10

5.设点
是
的重心，若
，
，则
的最小值是（ ▲ ）

A.
B．
C．
D．

6．设
满足约束条件
若目标函数
的最大值

为10，则
的最小值为（ ▲ ）

A.
B. 5 C. 25 D. 24

7． 已知双曲线
与抛物线
有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若
，则双曲线的离心率为（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.2

8. 已知上的奇函数
，
时
.定义：
，
，……，
，
，则
在
内所有不等实根的和为（ ▲ ）

A.10 B．12 C．14 D．16

二、填空题：本大题7小题，9-12题每题6分，13-15每题4分，共36分，把答案填在题中的横线上．

9．已知全集
，集合
，则
____▲______，

____▲_____ ,
____▲_____．

10．已知函数
，则
____▲_____，

若
，则实数的取值范围是____▲_____．

11．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是
，

则
____▲_____ ,该几何体的表面积为 ____▲_____．

12．已知等比数列
中，
，
，则该数列的通项公式
　 ▲ ，数列
的前项的和为 ▲ ．

13．在△ABC中，已知角
所对的边分别为
，且
，则
= ▲ ．

14．如图：边长为4的正方形
的中心为，以为圆心，1为半径

作圆．点是圆上任意一点，点
是边
上的任意一点

（包括端点），则
的取值范围为 ▲ ．

15. 已知椭圆

的右焦点为
，离心率为．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，
的中点为M，
的中点为N，原点在以线段
为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若
，则的取值范围为 ▲ ．

三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本题满分15分）

在
中，角，，
所对的边长分别为，
，，
．

（Ⅰ）若
，
，求的值；

（Ⅱ）若
，求
的最大值．

17．（本题满分15分）

在如图所示的几何体中，四边形
是菱形，
是矩形，平面
⊥平面
，
是
的中点．

(1)求证：
∥平面
；

(2)在线段
上是否存在点，使二面角

的大小为？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由．

18．（本题满分15分）

已知函数

（Ⅰ）当
时，求使
成立的的值;

（Ⅱ）当
，求函数
在
上的最大值；

19．（本题满分15分）

已知椭圆的焦点坐标为
(-1,0)，
(1,0)，过
垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点， 且|
|=3，

(1) 求椭圆的方程；

(2) 过
的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则

△

的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求

出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

20．（本题满分14分）

已知数列
的首项

的前项和为
。

（1）求证：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；

（2）证明：对任意的

（3）证明：

2014/2015学年第二学期联盟学校高考仿真统一测试

数学理科卷答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

D

C

B

C

B

D

C





二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题4分，共36分．）

9.(-1.+∞) ，(-,1)，
10. 1；

11. 1；
12.

13.
14. [﹣12，12] 15.

三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (满分15分)

（Ⅰ）由
，（3分）

，
，
得

，

（5分）

（7分）；

（Ⅱ）由二倍角公式得
（10分）

，（13分）

当
时，
最大值为
.（15分）

17. (满分15分)

(1)证明　由已知，MN∥AD∥BC，连结BN，

设CM与BN交于F，连结EF，如图所示．

又MN＝AD＝BC，

所以四边形BCNM是平行四边形，F是BN的中点．

又E是AB的中点，所以AN∥EF. …………5分

因为EF?平面MEC，AN?平面MEC，

所以AN∥平面MEC. …………6分

(2)法一：如图所示，假设在线段AM上存在点P，使二面角P－EC－D的大小为.

延长DA，CE交于点Q，过A作AH⊥EQ于H，连结PH.

因为四边形ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，

所以MA⊥平面ABCD，又CQ?平面ABCD，所以MA⊥EQ，

又MA∩AH＝A，所以EQ⊥平面PAH，

所以EQ⊥PH，∠PHA为二面角P－EC－D的平面角．

由题意，知∠PHA＝.

在△QAE中，AE＝1，AQ＝2，∠QAE＝120°，

则EQ＝＝，

所以AH＝＝.

又在Rt△PAH中，∠PHA＝，

则AP＝AH×tan 30°＝×＝＝<1.

所以在线段AM上存在点P，使二面角P－EC－D的大小为，此时AP的长为.………15分

法二：空间向量法

建系并写出点的坐标 ………3分 法向量过程………3分 公式求解得答案………3分

18. (满分15分)

解：（Ⅰ）
…………4分

（Ⅱ）当
…………6分

当
；…………8分

当
；

…………10分

…………13分

综上：
…………15分

19. (满分15分)

（1） 设椭圆方程为
=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1 ………1分

由PQ|=3，可得
=3，………4分

解得a=2，b=
，故椭圆方程为
=1 ………5分

（2） 设M
，N
,设
的内切圆的径R，

则
的周长=4a=8，

因此
最大，R就最大 ………7分

由题知，直线
的斜率不为零，可设直线
的方程为x=my+1， ………8分

由
得
+6my-9=0，

得
………10分

则
………12分

令t=
,则t≥1,

则

当且仅当t=1,m=0时，
,∴
=
， ………14分

这时所求内切圆面积的最大值为
π. ………15分

20．(满分14分)．

解：（1）由
得
，且
，

所以数列
是公比为
的等比数列。
………5分

（2）令
则

=
………10分

（3）由（2）得，
对任意的
恒成立，

取
，代入上式，得，

………15分