宁波效实中学2015届高考模拟测试卷数学（理）试题

说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

柱体的体积公式：V=Sh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.

锥体的体积公式：V=
Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.

球的表面积公式：S=4πR2 ，其中R表示球的半径.

球的体积公式：V=
πR3 ，其中R表示球的半径.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数
，则
（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知函数
是定义在上的奇函数，则（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

3．设不等式组
表示的平面区域为
，若直线
上存在区域
内的点，则的取值范围是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知是等比数列
的公比，则“
”是“数列
是递增数列”的

（ ▲ ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

5．已知点为双曲线

，
的

左顶点，
，线段
交双曲线一条渐近线于点，

且满足
，则该双曲线的离心率为（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知在
中，

的最大值为（ ▲ ）

A．
B.
C.
D.

7．已知函数
在
上的最大值为
，则
的最小值是

（ ▲ ）

A． B．
C． D．

8．如图，长方体
中，
，
，
为
的中点，为底面四边形
内的动点，且满足
，则点的轨迹的长度为（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、 填空题: 本大题共7小题,前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．

9．已知集合
，则
▲ ；

▲ ．

10．数列
的前项和
满足
，且
，则
▲ ，

数列
的前项和
▲ ．

11.与圆
外切于点
，且半径为
的圆
方程为 ▲ ，

若圆
上恰有两个点到直线
的距离为
，则实数
▲ ．

12．已知函数
的一个对称中心是
，则

　 ▲ 　，现将函数
的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍（纵坐标不变），得到函数
，再将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
,若

，则
的值是 ▲ ．

13．边长为的正四面体的三视图中，俯视图为边长为的正三角形，则正视图的面积的取值范围是 ▲ ．

14．若实数
满足
，则
的取值范围是 ▲ ．

15．
的三边
成等差，且
，则
的取值范围是 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分15分）

已知向量
，
.若函数
．

（Ⅰ）求
时，函数
的值域；

（Ⅱ） 在
中，
分别是角
的对边，若
,且
,求
边上中线长的最大值．

17．（本题满分15分）

如图，三棱锥
中，
平面
．
，点
， 分别为
，
的中点．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）在线段
上的点，且
；

求直线
与平面
所成角的正切值．

18．（本题满分15分）

已知二次函数
．

（Ⅰ）若
，且函数
的最大值为
，求
的解析式；

（Ⅱ）若
在
上单调递增，且
的顶点在轴上，求满足

的实数的最小值．

19．（本题满分15分）

已知
为坐标原点，椭圆
的左、右焦点分别为
，点为直线

上且不在轴上的任意一点．

（Ⅰ）求
周长的最小值；

（Ⅱ）设直线
和
的斜率分别为
，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
．

ⅰ）证明：
；

ⅱ）当直线
的斜率之和为
时，求直线
上点的坐标．

20．（本题满分14分）

正项数列
满足
，
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）证明：对任意的
，
；

（Ⅲ）记数列
的前项和为
，证明：对任意的
，
．

参考答案

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．

（1） C （2） D （3） C （4） B

（5） D （6） A （7） B （8） B

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．

（9）
，
（10）
，

（11）
,
（12）
,

（13）
（14）
（15）

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．答案：（1）
，值域
；…………………7分

（2）
，
…………………15分

17．答案：

(1)
…………5分

(2)连
交
于，则是
的重心，且
，

所以
， …………9分

作
于，则
，所以
，

所以，
是直线
与平面
所成角. 12分

且
,
,
,
.

所以，直线
与平面
所成角的正切值为
. …………15分

方法二：以为坐标原点，
为轴，
为轴，建立空间直角坐标系.

设

令面
的法向量为
，则
，
，

得

因为
平面
所以

得

则
…………10分

面
的法向量

设直线
与平面