2015年浙江省杭州二中高三年级仿真考数学（理科）试题卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

柱体的体积公式V=Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

锥体的体积公式
V=
Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

台体的体积公式
其中S1,S2分别表示台体的上,下底面积

球的表面积公
式S=4πR2 其中R表示球的半径，h表示台体的高

球的体积公式V=
πR3 其中R表示球的半径

第I卷（共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共
40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知定义域为R的函数
不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（ ）

A．
B．

C．
D．

2．设等差数列
的前n项和为
，
且
，则
（ ）

A．11 B．10 C．9 D．8

3．函数
（其中
）的
图象如图所示，为了得到
的图象，则只要将
的图象（ ）

A．向右平移
个单位长度 B．向右平移

个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度

4．设
，则“
”是“
”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

5．若变量
满足
，则点
所在区域的面积为（ ）

A．
B.
C.
D.

6．已知函数
，若存在实数
，
，
，
，满足
，且
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知点P为双曲线
右支上一点，
分别为双曲线的左右焦点，且
，I为三角形
的内心，若
成立， 则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．过正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1的中点与直线BD1所成角为40°，且与平面AC C1A1所成角为50°的直线条数为（ ）

A．1 B．2

C．3 D．无数

第II卷（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每题4分，共36分．

9．设全集为R，集合
集合
则
；
；
.

10．已知
,
,
，且
，则
________,
_______.

11．在如图所
示的空间直角坐标系O—xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(2，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图、侧视图和俯视图分别为（填写编号） ，此
四面体的体积为 .

12．已知圆
与直线
，则圆C的圆心轨迹方程为 ，直线
与圆
的位置关系是______．

13．已知点
在抛物线
的准线上，点M，N在抛物线C上，且位于
轴的两侧，O是坐标原点，若
，则点A到动直线MN的最大距离为 ．

14．在直径AB为2的圆上有长度为1的动弦CD，则
的取值范围是 ．

15．已知
为非零实数，
，且
.若当
时，对于任意实数
，均有
，则
值域中取不到的唯一的实数是
．

三、解答题：本大题共5小题，第16至19题每题15分，第20题14分，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．
中，内角
的对边分别是
，已知
成等比数列，且
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）设
，求
的值.

17．已知四棱锥
中，底面ABCD为
的菱形，
平面ABCD，点Q在直线PA上.

（Ⅰ）证明：直线QC
直线BD；

（Ⅱ）若二面角
的大小为
，点M为BC的中点，求直线QM与AB所成角的余弦值.

18．已知数列{an}中，
，

（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；

（Ⅱ）设
是数列
的前
项和，求满足
的所有正整数
．

19．如图，中心在坐标原点，焦点分别在
轴和
轴上的椭圆
，
都过点
，且椭圆
与
的离心率均为
.

（Ⅰ）求椭圆
与椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）过点
引两条斜率分别为
的直线分别交
，
于点P，Q，当
时，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

20．设
，
，

（Ⅰ）若
在
上有两个不等实根，求
的取值范围；

（Ⅱ）若存在
，使得对任意的
，都有
成立，求实数
的取值范围.

参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

D

A

C

D

B

D

B





二、填空题：

9.
；
；
10.
；
11. ③ ② ② ；
；

12.
；相交; 13.
; 14.
; 15.

三、解答题：

16
. 解：（Ⅰ）因为
成等比数列，所以
,

由余弦定理可知：

又
，所以
，且
，解得
.

于是
.

（Ⅱ）因为
,所以
，所以
，

又
，于是
.

【另解】由
得
，由
可得
，即

由余弦定理
得

∴
.

17. （Ⅰ）证明：显然
，
平面ABCD，则
，故
,

,则直线QC
直线BD；

（Ⅱ）由已知和对称性可知，二面角
的大小为
，设底面ABCD的棱长为单位长度2，
，设AC，BD交于点E,则有点B到平面AQC的距离BE为1，过点E做QC的垂线，垂足设为F，则有

，BE=1，则BE=
，点A到QC的距离为
，则有

，得
.

过点M作AB的平行线交AD的中点为G，则GM=2，
，

，则
，

，

即所求的QM与AB所成角的余弦值为
.

18.（Ⅰ）证明：
，

所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

，则
；

由
，得
，

得：
，

显然，当
时，
单调递减，

当
时，
，
时
，则当
时，
；

，

同理可得仅当
时，
，

综上
，可得满足条件
的n的值为1和2.

19.解：（Ⅰ）
；

（Ⅱ）直线MP的方程为
，联立椭圆
方程得：

，消去y得
，则
，则点P的坐标为

同理可得点Q的坐标为：

，又
，则点Q为：
，

，

则直线PQ的方程为：
，即

,化简得
，

即当
时，
，故直线PQ过定点
.

方法2：先证明一个结论：曲线
上的任一点
和曲线上两个关于中心的对称
点
（T不同于P，Q）连线的斜率乘积为
.

证明：
，点
，点
在曲线
上，则有：
，
，两式相减得：
，则
。

回到本题，设点
，PN与曲线
交于点
，则有：

对曲线
，则有
，

对曲线
，则有
，则
，则
，又

，则
与
重合，即直线PQ过定点
.

20.解：（Ⅰ）依题意可设：

，其中
,

则

；

（Ⅱ）由题意，问题转化为
，对
恒成立。

对函数
，令
，

则问题转化为：

恒成立.

显然：
，

（1）当
时，

对
恒成立，则
对
恒成立，得

，得
；

（2）
当
时，

对
恒成立，则