浙大附中2015年高考全真模拟试卷数学（文科）试题卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分，考试时间为120分钟.

参考公式：

柱体的体积公式
其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

锥体的体积公式
其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

台体的体积公式
其中S1,S2分别表示台体的上,下底面积

球的表面积公式
其中R表示球的半径，h表示台体的高

球的体积公式
其中R表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题

1．设集合
，
，则集合
等于 （ ▲ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2. 下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间
上单调递增的是 （ ▲ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3. 已知
为实数,则“
”是“
且
”的 （ ▲ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

4．下列命题中错误的是 （ ▲ ）

（A） 如果平面
平面，平面
平面，
，那么

（B） 如果平面
平面
，那么平面内一定存在直线平行于平面

（C）如果平面不垂直于平面
，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

（D） 如果平面
平面
，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于

5. 如图所示的是函数
和函数
的部分图象，则函数
的解析式是（ ▲ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

6. 若
的最小值是 （ ▲ ）

（A）8 （B）
（C）4 （D）2

7．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数

被称为狄利克雷函数，其中为实数集，
为有理数集，则关于函数
有如下四个命题：①
；②函数
是偶函数；③任取一个不为零的有理数，
对任意的
恒成立；④存在三个点
，
，
，使得△
为等边三角形．其中真命题的个数为 （ ▲ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

8. 已知点F （(c,0） （c >0）是双曲线
的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P，且点P在抛物线y2=4cx上，则该双曲线的离心率是 （ ▲ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

非选择题部分（共110分）

二、填空题

9. 已知等比数列
的公比为，前项和为
，若
成等差数列，且
，

则
▲ ，
▲ ．
▲ ．

10. 已知点
在直线
上，则
▲ ；

▲ ．

11. 若不等式组
所表示的平面区域被直线
分为面积相等的两部分，则的值为 ▲ ；若该平面区域存在点
使
成立，则实数的取值范围是 ▲ .

12. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为

▲ cm3．表面积为 ▲ cm2．

13. 已知定义在R上的奇函数
满足
，当
时，
，则
　 ▲　 　 　

14. 非零向量
夹角为
，且
，则
的取值范围为　　 ▲　 　．

15. 已知函数
，若
时
恒成立，则实数的取值范围是

　　 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分15分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且满足csinA=acosC．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求
的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

17．（本小题满分15分）

已知数列
是公差不为零的等差数列，
，且
成等比数列．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
满足：
，
，令
，
，

求数列
的前项和
．

18. （本小题满分15分）

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60(，E是BC的中点，PA=AB．

（Ⅰ） 证明：AE⊥PD；

（Ⅱ） 若F为PD上的动点，求EF与平面PAD所成最大角的正切值．

19. （本小题满分15分）

已知抛物线y2=2px （p>0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4.

（Ⅰ） 求t，p的值；

（Ⅱ） 设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且
（其中 O为坐标原点）.

（ⅰ）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；

（ⅱ）过点P作AB的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值.

20．（本小题满分14分）已知
，设函数
．

（Ⅰ）若
时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
，对于任意的
，不等式
恒成立，求实数的最大值及此时的值．

数学（文科）答案

1．C. 2．D. 3．B 4．D 5．C 6．C 7．D 8．B

9．
10．
; 11．
;

12．12cm3 ;
13．-1 14．
15．

16．（本小题满分15分）

解：(Ⅰ)由正弦定理得
，

因为
所以

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
于是

从而
即
时
取最大值2．

综上所述，
的最大值为2，此时
………… 14分

17．（本小题满分15分）

（I）设等差数列
的公差为，因为
，且
成等比数列．

所以
，即
，

解得
（舍）或
……………………………………………………………5分

所以数列
的通项公式为
，即
． ………………7分

（II）由
，

（
）

两式相减得
，即
（
），……………………10分

则
，
，

所以
，……………………………………13分

则
． …………15分

18．（本小题满分15分）

解：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60(，所以△ABC为正三角形．

E为BC中点，故AE⊥BC；又因为AD∥BC，所以AE⊥AD． …………… 3分

因为PA⊥平面ABCD，AE(平面ABCD，所以PA⊥AE． …………… 5分

故AE⊥平面PAD，又PD(平面PAD，所以AE⊥PD． ……… 7分

(Ⅱ)连结AF，由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，

所以∠AFE为EF与平面PAD所成的角．……10分

在Rt△AEF中，AE=
，∠AFE最大当且仅当AF最短，

即AF⊥PD时∠AFE最大． ……………12分

依题意，此时，在Rt△PAD中，
，

所以
，tan∠AFE=
．

所以，EF与平面PAD所成最大角的正切值为
．…………………………… 15分

19. （本小题满分15分）

解：(Ⅰ)由已知得
，

所以抛物线方程为y2=4x，

代入可解得
. …………………… 4分

(Ⅱ) (ⅰ)设直线AB的方程为
，

、
，

联立
得
，则
，
.………… 6分

由
得：
或
（舍去），

即
，所以直线AB过定点
；…………………………… 10分

(ⅱ)由(ⅰ)得
，

同理得
，

则四边形ACBD面积

令
，则
是关于的增函数，

故
.当且仅当
时取到最小值96. …………………………………… 14分

20．（本小题满分14分）

（I）当
时，
， …………………………………………3分

函数
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
． ……6分

（II）

①当
时，
，
在
单调递增，

，由题意得
，即
，

解得
，

令
，
在
单调递减，

所以
，即当
时，
．…………………………9分

②当
时，
，
在
单调递减，

在
单调递增，
，

满足
，
，由题意得
，

即
，解得
，

令
，
在
单调递增，

所以
，即当
时，
． ……………………………12分

③当
时，
，
在
单调递减，

在
单调递增，
，

满足
，
，由题意得
，

即
，解得
，

同②得
在
单调递增，

所以
，即当
时，
，

综上所述，
，此时
．……………………………………………15分