2015年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数 学（文 科）

本试题卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设
，则的非空真子集的个数为( )

A. 5 B. 31 C. 30 D. 32

2. 在去年足球甲联赛上，一队每场比赛平均失球数是1. 5， 全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队每场比赛平均失球数是2.1 ，全年失球个数的标准差为0.4，下列说法正确为（）

A. 平均来说一队比二队防守技术好 B. 二队比一队技术水平更稳定

C. 一队有时表现很差，有时表现很好 D. 二队很少失球

3. 右边框图是用数列
的前100项和，矩形赋值框和菱形

判断框应分别填入( )

A.
？ B.
？

C.
？ D.
？

4. 一个四面体中如果有三条棱两两互相垂直，且垂足不是同一点，

这三条棱就象中国武术中的兵器——三节棍体. ABCD的四个顶点在

空间直角坐标系中的坐标分别为
，
，

则此三节棍体外接球的体积为( )

A.
B.
C.
D.

5.把函数
图象上各点横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），

再向右平移
个单位，所得的图象的一条对称轴方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 已知变量
满足的不等式组
表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数
的值为（ ）

A.
或
B.
C. 0或
D. －2

7. 给出下列命题：①在区间
上，函数
，
中有3个是增函数；②若
，则
；③若函数
是奇函数，则
的图象关于点
对称；④已知函数
，则方程
有2个实数根. 其中正确命题的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8.
的角
所对的边分别是
（其中为斜边），分别以
边所在的直线为旋转轴，将
旋转一周得到的几何体的体积分别是
，则( )

A.
B.
C.
D.

9. 已知
是双曲线的左焦点，离心率为，过且平行双曲线渐近线的直线与圆
交于点，且点在抛物线
上，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 如图，半径为2的
与直线
切于点，射线
从
出发，绕点逆时针旋转到
，旋转过程中，
交
于
，设
，

弓形
的面积为
，那么
的图象大致为 ( )

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）

11. 设是虚数单位，
是复数的共轭复数，若
，则
_________．

12．
表示函数
的导数，在区间
上随机取值，
的概率为 ___．

13.在
中，已知
，

则
____________．

14．某个几何体的三视图如图（其中正视图中的圆弧是半圆）所示，则该

几何体的表面积为______．

15．已知函数
满足条件：

是R上的单调函数且
，则
的值为 _____．

16．如果，某人在垂直于水平地面
的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为
，某目标点沿墙面的射线
移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点到观察点的仰角
的大小，（仰角
为直线
与平面
（所成的角）），若
，则
的最大值是_______．

17．给出下面命题：①双曲线
的渐近线方程为
；

②命题
“
”是真命题；

③已知线性回归方程为
，当变量增加2个单位时，

其预报值平均增加4个单位；④已知

依照以上各式的规律，得到一般性的等式为
，则正确命题的序号为_______（写出所有正确命题的序号）

三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

18．（本题12分）
中，
（1）判断
的形状；

（2）设
,
，求
的范围．

19.（本题12分）在如图所示的多面体
中，已知
是正三角形，
是
的中点.

（1）求证：
平面
；

（2）求直线
与平面
所成角的余弦值；

（3）求多面体
的体积.

20．（本题13分）下图中正方形的个数依次构成数列
的前3项

（1） 如果这个数列中，
是
的一次正数，求出
的一个递推公式；

（2）在（1）的条件下，求
的通项公式；

（3）设
，求数列
的前项和
．

21．（本题14分）从椭圆
上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点
，点是椭圆上的右顶点，
是椭圆的上、下顶点，已知

（1）求椭圆的方程；

（2）设
是两定点，实数
满足什么条件时，
与
的交点始终在椭圆上？

22. （本题14分）已知函数
在
上为增函数，且

.

（1）求
的值；

（2）若
在
上为单调函数，求的取值范围；

（3）设
，若在
上至少存在一个
，使得
成立，求的取值范围.

2015年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）

数学（文科）A卷

参考答案

一、选择题：

1. C 2. A 3. B 4. B 5. A 6. C 7. C 8. D 9. D 10.D

二、填空题：

11.
12.
13.6

14.
15.
16.
17. ①③④

三、解答题

18. 必修5 P10－B组－2

（1）
为等腰或
………………4分

（2）

………………6分

1.
时，

………………9分

2.
时，

设
，

………………12分

19. 解：第一步，取
中点
，证明四边形
为平行四边形.

（1）如图，取
的中点
，连接
，因为
的中点，所以
，又
,所以
，四边形
为平行四边形，

第二步，证明线面平行.

所以
,因为
平面
，
平面
，所以
平面

第三步，证明
平面

（2）因为
是正三角形，所以
,在
中，
，所以
，故
，又
所以
平面

第四步，找出直线
与平面
所成的角.

取
的中点
，连接
，则
，又
,所以
，又
，所以
平面
，所以
是直线
与平面
所成的角.

第五步，求线面角.

在
中，
所以

第六步，求几何体的体积.

（3）由（2）知，
是四棱锥
的高，所以

20.必修5－P34－B组1及P47－4

（1）

………………4分

（2）
………………7分

（3）

………………12分

21. 选修Ⅱ－1 P81－2 选修Ⅳ－4 P34－2

（1）
………………4分

(2)

设

………………12分

22. 解：（1）由题意，
在
上恒成立，

即
在
上恒成立.

因为
，所以
.

故
在
上恒成立，只需
，即
，又
，所以
.

结合
，得
…………………………4分

（2）设
，由（1）得

所以

因为
在
上为单调函数，所以
或者
在
上恒成立. …………………………6分

等价于
，即
在
上恒成立，

而
，所以
.

等价于
，即
在
上恒成立，

而
，所以

综上，的取值范围是
…………………………9分

（3）构造函数
，

则

当
时，因为
，所以

所以在
上不存在
，使得
成立. ………………………11分

当
时，

因为