常德市一中2015届高三第十次月考

参考答案数学（理）

一．选择题（共10小题，每小题5分，共50分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



C

B

A

A

D

B

D

B

D

D



二．填空题（共5个小题，每小题5分，共25分）

（一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答）

11.
12.
13.

Ｘ

0

1

2



Ｐ









（二）必做题 14.
15.
16.

三．解答题（本题共6个小题，共75分）

17.解：（1）由正弦定理得：

即
………2分

∴

即
………4分

∵

∴
即

∴
成等差数列。 ………6分

（2）∵
∴
………8分

又
………10分

由（1）得：
∴

∴
即
………12分

18.解：（1）设事件为“两手所取的球不同色”，

则
………4分

依题意，
的可能取值为0,1,2．

左手所取的两球颜色相同的概率为
………6分

右手所取的两球颜色相同的概率为
………7分

………10分

所以Ｘ的分布列为：

………12分

19. （1）证明：
，
∥

又

面
又
面

………2分

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系

则
,
,
,
,

设
，
且
,即：

………5分

………6分

（2）假设存在,设面
的法向量为
，

则

即：
令

. ………8分

由题可知面
的法向量
………9分

平面
与平面
所成锐二面的余弦值为

即：

或
（舍） ………11分

当点为
中点时，满足要求. ………12分

20、(1)∵an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，

∴
……2分

∵
，

故数列
是首项为
，公比为－1的等比数列. ……4分

(2)解：由(1)得
，即
，

∴

……6分

∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an=
[(2+22+23+…+2n)－[(－1)+ (－1)2+…+(－1)n]

， ……8分

要使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，

即
对任意n∈N*都成立.

①当n为正奇数时，由(*)式得
，

即
，

∵2n+1－1>0，∴
对任意正奇数n都成立.

当且仅当n=1时，
有最小值1，∴λ<1. ……10分

②当n为正偶数时，由(*)式得
，

即
，

∵2n－1>0，∴
对任意正偶数n都成立.

当且仅当n=2时，
有最小值1.5，∴λ<1.5. ……12分

综上所述，存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，

λ的取值范围是(－∞，1). ……13分

21.解：（1）
，由题设可知
，得

① ………1分

又点P在椭圆C上，
②

③ ………3分

①③联立解得，
………4分

故所求椭圆的方程为
………5分

（2）当直线
的斜率存在时，设其方程为
，代入椭圆方程，消去y，

整理得
（﹡）

方程（﹡）有且只有一个实根，又
，

所以
得
………8分

假设存在
满足题设，则由

对任意的实数
恒成立,

所以，
解得，

当直线
的斜率不存在时，经检验符合题意.

总上，存在两个定点
，使它们到直线
的距离之积等于1. ………13分

22、解：（1）根据
定义域后，求导得到
，根据导数和0的关系得到

在
是函数
的增区间；

在
是函数
减区间………………………（3分）

令
求导得

里面有一个零点
和两个断点
，所以可以得到函数在区间
单调增；在区间
单调减。

当从负半轴方向趋近于-1时，
当从正半轴方向趋近于-1时，

而且
时，

而且可以很容易得到
，函数为偶函数，而且
，

另半边的图像就容易模拟得到了，所以
有4个不同的实根，

结合图像得到
………………………（8分）

（本题必须另半边如果不分析必须用奇偶性说明；而且必须说明在断点处的趋势，否则扣2到3分）

（3）结论：这样的正数
不存在

假设存在正数
，使得方程
存在两个不相等的实根
和
，则

根据定义域知道
和
都是正数

根据第1问知道，当
时，函数的最小值
，

所以
，

因为
，等式两边同号，所以，

所以

不妨设

由（1）（2）可得
，

所以

所以

因为很容易证明到函数
在
为恒大于0且为减函数

所以（*）方程显然不成立，因为
左边大于1，右边小于1……（13分）

所以原假设：存在正数
，使得方程
存在两个不相等的实根
和
错误

（本题其他证法，请酌情给分）