2015届高三5月份仿真模拟考试试卷数学（理科）

时量：120分钟 分值：150分

命题：浏阳一中 审校：宁乡一中

考生注意：1.本考试分为试题卷和答题卡两部分。

2.考生务必将答案写在答题卡上，写在试题卷上一律无效；

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、 已知集合

,则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．设复数
在复平面内的对应点关于虚轴对称，
，则
（ ）

A．
　　　B.5 　　　 　 C．
D．

3．某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积是
，

则正视图中的的值是（ ）

A.2 B.
C.
D.3

4．下列函数中最小正周期是的函数是( )

A.
B.
C.
D.

5．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有 ( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6. 设不等式组
所表示的区域为
，函数
的图象与轴所围成的区域为
,向
内随机投一个点,则该点落在
内的概率为( )

A.
B.
C.
D.

7．设{an}是等比数列，则“a1

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知双曲线
，过其右焦点作圆
的两条切线，切点分别记作、,双曲线的右顶点为,
，其双曲线的离心率为( 　)

A．
B．
C．
D．

9.如图，过原点的直线
与圆
交于
两点，点在第

一象限，将轴下方的图形沿轴折起，使之与轴上方的图形成

直二面角，设点的横坐标为，线段
的长度记为
，则

函数
的图像大致是( )

10.已知
都是定义在上的函数，
，
，且

，且
，
．若数列
的前项和大于
，则的最小值为（　 　）

A．6 B．7 C．8 D．9

二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．）

（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如全做则按前两题计分．）

11．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
(t为参数).在极坐标系 （与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点为极点,以轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为
，若直线l平分圆C的周长，则=　　　　．

12. 如图,
、
为圆
的两条割线,若
，

，
，
，则
.

13. 若正实数
满足
，则当
取最小值时，
的值为________.

必做题（14-16题）

14.10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能人选的选法有 种．

15．已知
是两个互相垂直的单位向量，且
，则对任意的正实数，
的最小值是

16..若直角坐标平面内两点
满足条件：①
都在函数
的图象上；②
关于原点对称，则称
是函数
的一个“伙伴点组”（点组
与
看作同一个“伙伴点组”）．已知函数
有两个“伙伴点组”，则实数
的取值范围是__ _．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.

（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；

（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望．

18.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
，满足
，

且
。

（1）求C的大小；

（2）求
的最大值，并求取得最大值时角A，B的值。

19. (本小题满分12分)如图,在四棱锥
中,
平面
,

,且
,

点
在
上.

（1）求证:
;

（2）若二面角
的大小为
,求
与平面

所成角的正弦值.

20.(本小题满分13分)设数列
的前项和为
，对一切
，点
都在函数
的图象上

（1）求
归纳数列
的通项公式（不必证明）；

（2）将数列
依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（
），
，
，

；
，
，
，
；
，…..，

分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为
，求
的值；

（3）设
为数列
的前项积，若不等式
对一切
都成立，其中
，求的取值范围

21.(本小题满分13分)已知
分另为椭圆

的上、下焦点,
是抛物线
的焦点,点
是

与
在第二象限的交点, 且

（1）求椭圆
的方程;

（2）与圆
相切的直线
交椭圆
于
,若椭圆
上一点满足
,求实数的取值范围.

22．(本小题满分13分) 已知函数
（
）．

（1）求函数
的单调区间；

（2）函数
在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；

（3）若
，当
时，不等式
恒成立，求α的取值范围．

2015届高三第三次仿真考试（理科数学）参考答案

一、选择题

CACDD BBDBA

二、填空题

11.-3 12.6 13.5

14.77 15.
16.
.

三、解答题

17．解：（Ⅰ）由题意估算，所调查的600人的平均年龄为：

（岁）….…..4分

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为
.

所以从该城市20~80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为
.

依题意，X的可能取值为
.

所以，随机变量X的分布列如下表：























因此，随机变量X的数学期望

. ……………..12分

18．解：（I）由
，

可得
，

即
，又
，所以
，

由正弦定理得
，（4分）

因为
，所以
0，从而
，即
。……………6分

（II）由余弦定理
，得
，

又
，所以
，于是
，

当
时，
取到最大值
。……………………………12分

19．解：(Ⅰ)如图,设为
的中点,连结
,

则
,所以四边形
为平行四边形,

故
,又
,

所以
,故
,

又因为
平面
,所以
,

且
,所以
平面
,故有
…………………………………5分

(Ⅱ)如图,以为原点,分别以射线

为
轴的正半轴,建立空间直角坐标系
.

则
,

设
,易得
,

设平面
的一个法向量为
,则
,

令
得
,即
.

又平面
的一个法向量为
,

由题知
,解得
,

即
,而
是平面
的一个法向量,

设平面
与平面
所成的角为,则
.

故直线
与平面
所成的角的正弦值为
.…………………………………12分

20．解：（1）因为点
在函数
的图象上，

故
，所以
．

令
，得
，所以
；

令
，得
，所以
；

令
，得
，所以
．

由此猜想：
……………………………………………………4分

（2）因为
（
），所以数列
依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号， 故
是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，

所以
．又
=22，所以
=2010.………………8分

（3）因为
，故
，

所以
．

又
，

故
对一切
都成立，就是

对一切
都成立．……………9分

设
，则只需
即可．

由于

，

所以
，故
是单调递减，于是
．

令
，………………………………………………………………………12分

即
，解得
，或
．

综上所述，使得所给不等式对一切
都成立的实数的取值范围是
．………………………………………………………………13分

21．解：(Ⅰ)由题知
,所以
,

又由抛物线定义可知
,得
,

于是易知
,从而
,

由椭圆定义知
,得
,故
,

从而椭圆的方程为
……………………………………………………………6分

(Ⅱ)设
,则由
知,

,且
,……①

又直线
与圆
相切,所以有
,

由
,可得
……②

又联立
消去得

且
恒成立,且
,

所以
,所以得
…………8分

代入①式得
,所以

又将②式代入得,
,……………………………………10分

易知
,所以
,

所以的取值范围为
…………………………13分

22．解： （Ⅰ）由
，则
．

当
时，对
，有
，所以函数
在区间
上单调递增；

当
时，由
，得
；由
，得
，

此时函数
的单调增区间为
，单调减区间为
．

综上所述，当
时，函数
的单调增区间为
；

当
时，函数
的单调增区间为
，单调减区间为
． 4分

（Ⅱ）函数
的定义域为
，

由
，得
（
） 5分

令

（
），则

， 6分

由于
，
，可知当
，
；当
时，
，

故函数
在
上单调递减，在
上单调递增，故
． 7分

又由（Ⅰ）知当
时，对
，有
，即
，

（随着
的增长，
的增长速度越来越快，会超过并远远大于
的增长速度，而
的增长速度则会越来越慢．则当