2015福建省高考压轴卷理科数学

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．设全集
，集合
，
，则
( )

A．
　 B．
C．
D．

2. 已知圆
及以下３个函数：①
；②
；③
其中图像能等分圆
面积的函数有（ ）

A．
个 B.个 C. 个 D.
个

3．已知直线
和平面，其中
，
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知角
的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线
上，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

5．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（ ）

A.1007 B.1008 C.2013 D.2014

6．某教研机构随机抽取某校
个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为
将数据分组成
,
,
,
,

,
,
,
时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ ）

7.已知曲线
:
和
:
，且曲线
的焦点分别为
、
，点
是
和
的一个交点，则△
的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能

8．在高校自主招生中，某校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同推荐方法的种数是 ( )

A．20 B.22 C.24 D. 36

9．已知
均为单位向量，且满足
，则
的最大值为（ ）

A．
B.
C.
D.

10．设
为集合
的个不同子集
，为了表示这些子集，作行列的数阵，规定第行与第
列的数为
则下列说法正确的个数是( )

①数阵中第1列的数全是0当且仅当
;

②数阵中第列的数全是1当且仅当
;

③数阵中第
行的数字和表明元素
属于
中的几个子集;

④数阵中所有的
个数字之和不小于;

⑤数阵中所有的
个数字之和不大于
.

A．5 B. 4 C．3 D. 2

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在相应横线上.）

11．已知
___ ．

12. 利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a,b，则方程
有实数根的概率是___ ．

13. 已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于_________.

14．若
对任意的
都成立，则
的最小值 为 　　 ．

15．如图，A是两条平行直线之间的一定点，且点A到两条平行直线的距离分别为
。设
,
,且顶点B、C分别在两条平行直线上运动，则
的最大值为_______.

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16.（本小题满分13分）

我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准?用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了频率分布直方图，

(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；

(II)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；

(III)若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（II)中最低标准的人数为x，求x的分布列和均值.

17.（本小题满分13分）

世界大学生运动会圣火台如图所示,圣火盆是半径为1m的圆,并通过三根长度相等的金属支架
(
是圆上三等分点)将其水平放置,另一根金属支架
垂直于地面,已知圣火盘的圆心
到地面的距离为
m,四根金属支架的总长度为m.

（Ⅰ）设
,请写出关于
的函数解析式,并写出函数的定义域；

（Ⅱ）试确定定点的位置，使四根金属支架总长度最短.

18.（本小题满分13分）

如图所示，四边形
为直角梯形，
，
，△
为等边三角形，且平面
平面
，
，为
中点．

（1）求证：

；

（2）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值；

（3）在△
内是否存在一点
，使
平面
，如果存在，求
的长；如果不存在，说明理由．

19.（本小题满分13分）已知抛物线
的顶点为坐标原点,其焦点
到直线

的距离为
.

（Ⅰ）求抛物线
的方程;

（Ⅱ）若
是抛物线
上异于原点的任意一点，圆
与轴相切.

（i）试证：存在一定圆
与圆
相外切，并求出圆
的方程；

（ii）若点是直线
上任意一点，
是圆
上两点，且
，求
的取值范围.

20.（本小题满分14分）已知函数
。

（Ⅰ）若函数
在点
处的切线与直线
平行，求实数的值

（Ⅱ）对任意的
，若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围

（Ⅲ）若函数
与
的图像关于直线
对称，设


，试根据如图所示的曲边梯形
的面积与两个直角梯形
和
的面积的大小关系，写出一个关于和
的不等式，并加以证明。

21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

设矩阵
．

（Ⅰ）若
，求矩阵M的逆矩阵
；

（Ⅱ）若曲线C：
在矩阵M的作用下变换成曲线
：
，求
的值．

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C1：
（
为参数），曲线C2：
（t为参数）．

（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；

（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线
．写出
的参数方程．
与
公共点的个数和C
公共点的个数是否相同？说明你的理由．

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知
为正实数.

（Ⅰ）求证
；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论求函数
的最小值.

2015福建省高考压轴卷理科数学答案

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

CBADA ABCCB

二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应横线上.）

11. 40 12.
13. 4 14.
15.

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16．（本小题满分13分）

解: （Ⅰ） ………3分

（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨.………6分

（Ⅲ）依题意可知,居民月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的概率是
，

则
，
，

，
……………9分

分布列为

 0

 1

 2

 3















…11分

答：人数x均值为 .………………13分

17．解：（Ⅰ）由题意可得，
…4分

由
可得
，所以
………………6分

（Ⅱ）
………………7分

令
，得
，存在
，使得
………………8分

当
时，
，当
时，

故当
时，取最小值………………11分

此时，点到地面的距离
………………12分

答：当点到地面的距离为（
）时，四根金属支架总长度最短.…13分

18.解：（1）证明如下：取
的中点
，连结
，

因为△
是正三角形，所以
.

因为四边形
是直角梯形，
，
，

所以四边形
是平行四边形，
.

又
，所以
.

又因为
,所以
平面
，

所以
.………4

（2)因为平面
平面
，

，所以
平面
，

所以
.

如图所示，以
为原点建立空间直角坐标系.

则
，
，
，
，
，

所以
,
，

设平面
的一个法向量为

，则

，

令
，则
,
,所以

.

同理可求得平面
的一个法向量为

，设平面
与平面
所成的锐二面角为
，则


，所以平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为
.………9分

（3）设
，因为
，

所以
，
,
.

依题意得
即

解得
，
.符合点
在△
内的条件.

所以存在点
，使
平面
，此时
.………13分

19.解：(Ⅰ) 依题意,设抛物线
的方程为
,由
结合
,解得
. 所以抛物线
的方程为
. …………4分

(Ⅱ) （i）设圆
与轴的切点是点
,连结
交抛物线
的准线于点
，则
，所以圆
与以为焦点，1为半径的圆相切，圆
即为圆，圆
的方程为
;…………8分

(ii)由
可知，
为圆
直径，…………9分

从而

所以
的取值范围是
.…………13分

20、解（Ⅰ）
，依题意得：
即
，故的值为
………………………………………4分

（Ⅱ）由不等式
对任意的
恒成立，则
，由函数
在
上为单调递减，∴

∴问题转化为不等式
在
上恒成立，………7分

令
，则
。∴

∴
的取值范围为
………9分

（Ⅲ）由题意得曲边梯形
的面积小于与两个直角梯形
和
的面积的和，

用不等式表示为
………10分

即
………………11分

证明：
等价于

令
，则设

由
得

∵
∴
∴
即

∴
即

∴
………………14分

另证：设
，则
，

不等式
等价于
………11分

即
令
，则只要证
即
又令
，则
即

∴
………………14分

21（1）（I）当
时，M的行列式det(M)=-5，故所求的逆矩阵
.　…3分

（II）设曲线C上任意一点
，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点

，则

，即

又点
在曲线
上，所以
，则
，

即
为曲线C的方程，

又已知曲线C的方程为
，

比较系数可得
，解得
，∴
.　…………7分

（2）压缩后的参数方程分别为

：
（
为参数）；
：
（t为参数）．

化为普通方程为：
：
，
：
，……………6分

联立消元得
，

其判别式
，……………7分

所以压缩后的直线
与椭圆
仍然只有一个公共点，和
与
公共点个数相同．

（3）（Ⅰ）证明：
，由柯西不等式得

等号成立当且仅当
，即
.

所以
.…………………4分

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）知，
，

当且仅当
，即
时等号成立.

所以函数
的最小值为1. …………………7分