甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题数 学（理 科）

第I卷（选择题）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题

1.设集合M=
，N=
，则
=( )

A. {（1,1）} B. {（-1,1），（1,1）} C.
D.

2. 设i是虚数单位，那么使得
的最小正整数n的值为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3. 如果直线ax+by=4与圆C：x2+y2=4有两个不同的交点，那么点（a，b）和圆C的位置关系是（ ）

A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.不能确定

4.要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）

A．向右平移
个单位长度 B．向左平移
个单位长度

C．向右平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度

5.过椭圆
的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则
的值为（ ）

A.
B.
C. 1 D.

6. 已知
的外接圆半径为R，且
（其中a，b分别是
，
的对边），那么角C的大小为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

7.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某多面件的三视图，该多面体的体积为（ ）

A. 40
B. 50
C. 60
D. 80

8.电子钟表一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都

由4个数字组成，那么一天中任一时刻的4个数字之和等于23

的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

9.已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC

是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三

棱锥的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

10.执行右图程序框图，如果输入的正实数x与输出的实数y满足y=x，

则x= （ ）

A.
B.
C.
D.

11.已知函数
在
时的切线和x轴交于
，若
，则数列

的前n项和为（ ）

A.
B.
C.
D.

12.已知函数
，若方程
=2在
恰有3

个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 在(x2+
－4)5的展开式中含x4项的系数是___________. (用数字填写答案)

14.在△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=
，点M，N满足
，
，

，若
，则
=_________.

15.平面上满足约束条件
的点（x，y）形成的区域为D，区域D关于直线y=2x对称的区域为E，则两个区域中距离最近的两点之间的距离为__________.

16.定义在R上的奇函数
的导函数满足
，且
，若

，则不等式
的解集为__________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知点A
，B
，C
，且
.

（Ⅰ）记函数
，
，讨论函数的单调性，并求其值域；

（Ⅱ）若O，P，C三点共线，求
的值.

18. （本小题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，

∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD

是以AD为底的等腰三角形.

（Ⅰ）证明：AD⊥PB；

（Ⅱ）若四棱锥P—ABCD的体积等于
，试求PB与平面PCD所

成角的正弦值.

19. （本小题满分12分）

一种智能手机电子阅读器，特别设置了一个“健康阅读”按钮，在开始阅读或者阅读期间的任意时刻按下“健康阅读”按钮后，手机阅读界面的背景会变为蓝色或绿色以保护阅读者的视力. 假设“健康阅读”按钮第一次按下后，出现蓝色背景与绿色背景的概率都是
从按钮第二次按下起，若前次出现蓝色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为
、
；若前次出现绿色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为
、
记第
次按下“健康阅读”按钮后出现蓝色背景概率为Pn.

（Ⅰ）求P2的值；

（Ⅱ）当
时，试用Pn-1表示Pn；

（Ⅲ）求Pn关于n的表达式.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆C:
的左右焦点
，
与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C上任意一点P做椭圆C的切线与直线
的垂线
相交于点M，求点M的轨迹方程；

（Ⅲ）若切线MP与直线x=-2交于点N，求证：
为定值.

21. （本小题满分12分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）设函数
，试确定
的单调区间及最大最小值；

（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n，均有
成立.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲

如图，在四边形ABCD中，已知
，
，
，对角线
交于点
，且
，为
的中点．

求证：（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
．

23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为
(t为参数).

（Ⅰ）写出直线L的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换
得到曲线
，设 M(x,y)为
上任意一点，求
的最小值，并求相应的点M的坐标.

24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲

已知正数a，b，c满足a+b+c=6，求证：
.

甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题参考答案

数 学（理 科）

第I卷（选择题）

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

B

A

C

D

B

A

C

C

D

D

B



第Ⅱ卷

二、填空题

13. -960 ； 14.
； 15.
； 16.
．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

解：设P（x，y），由
得
，

即
，

所以
，亦即
；…………………… 2分

（Ⅰ）

；

由
得
，

所以，当
即
时，
单调递减，且
，

当
即
时，
单调递增，且
，

故，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，

值域为
. …………………………………… 6分

（Ⅱ）由O、P、C三点共线可知，
∥
，

即
，得
，

所以

………………………………… 12分

18. （本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：取AD的中点G，连PG，BG，CG；

…………………………………… 5分

（Ⅱ） ∵ 侧面PAD⊥底面ABCD，PG⊥AD，

∴ PG⊥底面ABCD；

在底面直角梯形ABCD中，由已知可得
，

由
，即

，得
，

而BG=CG=
，DG=1，

在Rt△PGB、Rt△PGC、Rt△PGD中分别可求得PB=
、PC=
、PD=2，

在△PCD中，
，

∴
，∴△PCD的面积
，

设点B到平面PCD的距离为h，由
得
，

∴ PB平面PCD所成角的正弦值为
.

…………………………………… 12分

19. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）若按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景，则其概率为
；

若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为

故所求概率为
…………………………………… 4分

（Ⅱ）第
次按下按钮后出现蓝色背景的概率为
），则出现绿色背景的概率为
.

若第
次、第n次按下按钮后均出现蓝色背景，则其概率为
；

若第
次、第n次按下按钮后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为

所以，
（其中
）.

…………………………………… 8分

（Ⅲ）由（2）得
（其中
）.

故
是首项为
，公比为
的等比数列，

所以
…………………………………… 12分

20. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）依题意，2c=a=4，∴ c=2，b=
；

∴椭圆C的标准方程为
； …………………………………… 2分

（Ⅱ）设
，由（Ⅰ），
，设
，

过椭圆C上过P的切线方程为：
， ①

直线
的斜率
，则直线
的斜率
，

于是，则直线
的方程为：
，

即
， ②

、②联立，解得 x = -8，

∴ 点M的轨迹方程为 x = -8； …………………………………… 8分

（Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M、N的坐标可表示为
、
，

点N在切线MP上，由①式得
，

点M在直线
上，由②式得
，

，
，

∴
， ③

注意到点P在椭圆C上，即
，

于是
代人③式并整理得
，

∴
的值为定值
. …………………………………… 12分

21. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
； …………… 3分

（Ⅱ）∵
，

∴
，

，

∵ a>0，∴ 函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，

函数
的最小值为
，函数
无最大值； ……………… 7分

（Ⅲ）取a =1，由（Ⅱ）知，
，

∴
，即
，亦即
，……… 10分

分别取
得

，
，
，…，
，

将以上各式相乘，得：
……………………………… 12分

22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲

证明： （Ⅰ）由已知得
，从而
四点共圆，
为直径，为该圆的圆心．

作