2015年南平市普通高中毕业班质量检查文科数学

参考公式：

样本数据x1，x2，…，xn的标准差 锥体体积公式

s=
　　V=
Sh

其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，
≤≤
，则

A．
B．
C．
D．

2．在复平面内，复数

（i是虚数单位）对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．
=

A．
B．
C．-
D．-

4．过点
且与直线
平行的直线方程是

A．
B．

C．
D．

5．在
中，“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．若变量x，y满足约束条件
则z=2x+y的最大值为

A．-3 B．2 C．3 D．4

7．若把函数
的图象上的所有点向右平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是

A.
B.
C.
D.

8．已知向量
，
的夹角为
，且
，
，则
=

A. 2 B.
C.
D.

9．设数列
是以3为首项，1为公差的等差数列，
是以1为首项，2为公比的等比数列，则
=

A．15 B．60 C．63 D．72

10．在三棱锥
中，侧棱
，
，
两两垂直，
，
，
的

面积分别为，，，则该三棱锥外接球的表面积为

A.
B.
C.
D.

11．利用计算机产生0~3之间的均匀随机数、，则事件“

”发生的概率为

A.
B.
C.
D.

12．在平面内，曲线
上存在点，使点到点A（3，0），B（-3，0）的距离之和为10，则称曲线
为“有用曲线”．以下曲线不是“有用曲线”的是

A．
　 B．
　 C．
　 D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．

13. 一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 .

14．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值

输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y

值相等，则这样的x值的个数是 .

15．已知P是抛物线
上的一个动点，则P到

直线
：
和
：
的距离之和的最小值是 .

16．关于函数
，给出下列四个命题：

① 该函数没有大于
的零点；

② 该函数有无数个零点；

③ 该函数在
内有且只有一个零点；

④ 若
是函数的零点，则
．

其中所有正确命题的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本题满分12分）

学校开展阳光体育活动，对学生的锻练时间进行随机抽样调查，从中随机抽取男、女生各25名进行了问卷调查，得到了如下列联表：

锻练时间

男生

女生

合计



少于1小时

5

x





不少于1小时

y

10





合 计









(Ⅰ) 根据上表数据求x，y，并据此资料分析：有多大的把握可以认为“锻练时间与性别有关”?

(Ⅱ) 从这50名学生中用分层抽样的方法抽取5人为样本，求从该样本中任取2人，

至少有1人锻练时间少于1小时的概率.

≥

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





18．（本题满分12分）

已知正项等差数列
的前项和为
，若
，且
，
，
成等比数列.

(Ⅰ) 求
的通项公式；

(Ⅱ) 若
，数列
的前项和为
，求
.

19．（本题满分12分）

已知函数
，
．

(Ⅰ) 求函数
的单调递增区间；

(Ⅱ) 在
中，角
所对边的长分别是
，若
，
，

，求
的面积．

20．（本题满分12分）

如图，已知
⊙
所在的平面，
是⊙
的直径，
，
是⊙
上一点，且
，
，是
的中点，是
的中点，
为线段
上（除点外）的一个动点.

(Ⅰ) 求证：
∥平面
；

(Ⅱ) 求证：

；

(III) 求三棱锥
的体积.

21．（本题满分12分）

已知椭圆
的离心率为
，短半轴长为
.

(Ⅰ) 求椭圆
的方程；

(Ⅱ) 已知斜率为
的直线
交椭圆
于两个不同点A，B，点M的坐标为
，

设直线MA与MB的斜率分别为
，
．

① 若直线
过椭圆
的左顶点，求此时
，
的值；

② 试探究
是否为定值？并说明理由.

22．（本题满分14分）

己知函数
(
)，

(Ⅰ) 若函数

的图象在点（1，
）处的切线方程为
，

求实数，
的值；

(Ⅱ) 若函数
≤0恒成立，求实数的取值范围；

(III) 若函数
有两个不同的极值点分别为
，
，求证：
.

2015年南平市普通高中毕业班质量检查

文科数学试题参考答案及评分标准

说明：

1、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．

1．A； 2．D； 3．A； 4．B； 5．C； 6．C；

7．C； 8．D； 9．B； 10．B； 11．D； 12．B．

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．

13．4； 14．3； 15．3； 16．② ③ ④.

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．本题满分12分．

解：（Ⅰ）

锻练时间

男生

女生

合计



少于1小时

5

15

20



不少于1小时

20

10

30



合 计

25

25

50





x=15，y=20 …………………(2分)

由已知数据得
…………………(4分)

所以有99.5%以上的把握认为“锻练时间与性别有关” …………………(6分)

（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本, 所以抽取了锻练时间少于1小时2人，不少于1小时3人，分别记作A1、A2 ；B1、B2、B3 .

从中任取2人的所有基本事件共10个： (A1, B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2, B1),(A2, B2), (A2, B3), (A1, A2), (B1, B2), (B2, B3), (B1, B3). …………………(8分)

其中至少有1人的锻练时间少于1小时的基本事件有7个：(A1, B1),(A1, B2),

(A1, B3),(A2, B1), (A2, B2), (A2, B3), (A1, A2). ………………… (10分)

∴ 从中任取2人，至少有1人的锻练时间少于1小时的概率为
. ………… (12分)

18．本题满分12分．

解：(Ⅰ)设正项等差数列
的公差为d, 故

，
，
成等比数列，则有
，

即
…………………（1分）

又
，…………………（2分）

解得
或
（舍去）…………………（4分）

…………………（6分）

(Ⅱ)
…………………（7分）

=
………………（8分）

………………（9分）

……………………（11分）

……………………（12分）

19．本题满分12分．

解：(Ⅰ)∵
，
)

…………………(1分)

∴
. …………………(3分)

由
，

解得

…………………(5分).

∴函数
的单调递增区间是

. …………………(6分)

(Ⅱ)∵在
中，
，

∴
解得
.
…………………(8分)

又
， ∴
. …………………(9分)

依据正弦定理，有
，解得
…………………(10分)

. …………………（11分）

…………………(12分)

20．本题满分12分．

证明：(Ⅰ)是
的中点，是
的中点，

∥
…………………（1分）

平面
，

点
不于点重合，
平面

//平面
…………………（3分）

(Ⅱ)
⊙
所在的平面，

⊙
所在的平面，

…………………（5分）

又
是⊙
的直径，

…………………（6分）

于，
平面
…………………（7分）

平面
，

…………………（8分）

(III)在
中，
，
，所以
…………（9分）

因为
，
，所以
.

因为
，所以
…………………（10分）

所以
…………………（11分）

由(Ⅱ)知
，所以
.………………（12分）

21．本题满分12分．

解：(Ⅰ)由椭圆的离心率为
，
，又
，
，

解得
，

所以椭圆
的方程为
.…………………(3分)

(Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是
，

联立方程组
，解得
或
，

故
，
. …………………（6分）

②
为定值，且
.…………………（7分）

证明如下：

设直线在轴上的截距为,所以直线的方程为
.

由
, 得
.

当
，即
时，直线与椭圆交于两点………（8分）

设
.
,则
，
.…………………（9分）

又
，

故
=
.…………（10分）

又
，
，

所以

故
.…………………（12分）

22．本题满分14分．

解：(Ⅰ)
，…………………（2分）

因为切线方程为
，所以
，即
……………（3分）

又
可得切点为（1，-1），代入切线方程得
……………（4分）

(Ⅱ)
恒成立等价于
恒成立，即