数学文科试题

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若复数满足
（是虚数单位)，则的共轭复数
的虚部是【 】

A．
B．
C． D．

2．若
是正数的充要条件是【 】

A．
B．
C．
D．

3．某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有16件.那么此样本的容量
【 】

A.80 B.120 C.160 D.60

4. 已知
，则
【 】

A．
B.
C.
D.

5. 直线
（
）与函数
，
的图象分别交于、两点，当
最小时，值是【 】

A. B.
C.
D.

6.在同一平面直角坐标系中，函数
的图象与
的图象关于直线
对称.而函数
的图象与
的图象关于轴对称，若
，则的值是【 】

A． B．

C．
D．

7.某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，

则该几何体的表面积为【 】

A.
B.

C.
D.

8. 设x，y满足约束条件
，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则
的最小值为【 】

A.
B.
C.
D. 4

9. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4, 5,6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为【 】

A. B. C. D.

10.函数
是定义域为的可导函数,且对任意实数都有
成立.若当
时,不等式
成立,设
,
,

,则,
,的大小关系是【 】

A.
B.
C.
D.

11. 已知为
所在平面上的一点，且
,
，
．若
，则
一定是
的【 】

A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D.重心．

12.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆
的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为【 】

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知圆x2+y2－6x－7=0与抛物线y2=2px（p>0）的准线相切，则抛物线的焦点坐标是 .

14. 在
中，若
，则
.

15. 右图所示的程序运行后输出的结果是 .

16. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.

当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 .

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.

17．（本小题满分12分）三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为
、
、
，且他们是否破译出密码互不影响.

（Ⅰ）求恰有二人破译出密码的概率；

（Ⅱ）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个更大？说明理由.

18. (本小题满分12分)已知公差不为零的等差数列
的前4项和为10，且
成等比数列.

（Ⅰ）求通项公式
；

（Ⅱ）设
,求数列
的前项和
.

19.(本小题满分12分) 如图1，
，
，过动点A作
，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿
将△
折起，使
，

且
（如图2所示）．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）若
，当
的长为多少时，三棱锥
的体积最大；并求出其体积的最大值.

20. (本小题满分12分) 如图所示，点
在圆：
上，点是
在轴上投影，
为
上一点，且满足
.

（Ⅰ）当点
在圆上运动时，求点
的轨迹的方程.

（Ⅱ）过
不与坐标轴垂直的直线交曲线

于
两点，线段
的垂直平分线交轴于点,

试判断
是否为定值？若是定值，求此定值；若

不是定值，请说明理由。

21．(本小题满分12分) 已知函数
，
.

（Ⅰ）求函数
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若函数
与
在区间
上均为增函数,求的取值范围；

（Ⅲ）设
， 讨论曲线
与曲线
公共点的个数.

请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，
是△
的外接圆，D是的中点，

BD交AC于E．

（Ⅰ）若
试求
的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，O到AC的距离为1，

求⊙O的半径．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

平面直角坐标系中，直线的方程是
，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，又曲线的极坐标方程为

．

（Ⅰ）求直线的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点，求
．

24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最值；

（Ⅱ）解不等式
.

数学文科试题

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

A

D

B

D

C

A

D

A

B

D





二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(1,0) 14.
15. 40 16. 7

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.

17．（本小题满分12分）

【解析】记“第i个人破译出密码”为事件
，依题意有

，且A1，A2，A3相互独立. ………2分

设“恰好二人破译出密码”为事件B,则有：

B＝A1·A2·
·A1·
·A3+
·A2·A3且A1·A2·
， A1·
·A3，
·A2·A3

彼此互斥,于是P(B)=P(A1·A2·
)+P（A1·
·A3）+P（
·A2·A3）

　　　　＝
＝
. …………6分

（2）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D，则有：

D＝
·
·
，且
，
，
互相独立，则有

P（D）＝P（
）·P（
）·P（
）＝
＝
.

而P（C）＝1-P（D）＝
，故P（C）＞P（D）.

所以密码被破译的概率比密码未被破译的概率大. …………12分

18. (本小题满分12分)

【解析】(1）由题意知
解得

所以an=3n－5. …………………………………………6分

（Ⅱ）∵

则
，所以

作差得

。 …………………………………………12分

19.(本小题满分12分)

【解析】（Ⅰ）在如图1所示的△
中，由折起前
知，折起后（如图2），
，
，且
，所以
平面
．又
在平面
中。所以平面
平面
。 …………………………………………6分

（Ⅱ）在△
中，设
，则
．由
，
知，△
为等腰直角三角形，所以
.又
，所以
．于是

．

令
，由
，且
，解得
．

当
时，
；当
时，
．当
时，
取得最大值．

故当
时, 三棱锥
的体积最大． ……………………12分

20. (本小题满分12分)

【解析】（Ⅰ）设
、
，由于
和
轴，

所以

代入圆方程得：

所以，曲线C的轨迹方程为
……………………………6分

（Ⅱ）
是定值，值为
。理由如下：

由题设直线

交曲线C：
于
，所以：
得
，则
，

又弦
的中点为
，

所以直线

的垂直平分线为

令
得
所以

故
得证。 …………………………………………12分

21．(本小题满分12分)

【解析】(1)因为
,所以切线的斜率
………2分

又
,故所求切线方程为
,即
…………4分

(2)因为
,又x>0,所以当x>2时,
；当0

又
,所以
在
上递增,在
上递减…7分

欲
与
在区间
上均为增函数,则
,

解得
………………………………………………………………8分

(3) 当
时，曲线
与曲线
公共点的个数方程
根的个数,令
,方程即为
.

又
,且x>0,所以当x>4时,
；当0

故h(x)在x=4处取得最小值，且
……………………10分

所以对曲线
与曲线
公共点的个数，讨论如下：

当
时,有0个公共点；当
或
时，有1个公共点；当
时，有2个公共点。…………12分

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

【解析】（I）证明：∵
，

∴
，又
，

∴△
～△
，∴
，

∴CD
=DE·DB；
…………5分

（Ⅱ） 因为是
的中点，

在
中，
,即

在
中,

，解得
………………………10分

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

【解析】（Ⅰ）因为直线的直角坐标方程：
由

代入得

.

（ 也可以是：
或
）………………………………5分

（Ⅱ）
得

设
，
，

则
. ……………………10分

24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲

【解析】（1）
，

又当

时，
，

∴

的最大值为3，最小值为-3. ………5分

（2）当
时，
；

当
时，
；

当
时，
；

综合上述，不等式的解集为：
. ………………………10分