辽宁省重点中学协作体2015年高考模拟考试数学（理）试题

第I卷

一、选择题。本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．设R为实数集，集合
=

2．已知复数

A．1 B．
C．
D．

3．函数
所对应的图象向左平移署个单位后的图象与y轴距离最近的对称轴方程为

4．己知数列

5．由
所对应的曲线围成的封闭图形

的面积为

6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为

7．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出

现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为
，则
的

数学期望是（ ）

A．20 B．25 C． 30 D．40

8．若矩阵
满足下列条件：①每行中的四个数均为集合{1，2，3，4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的，则满足①②条件的矩阵的个数为

A．48 B．72 C．144 D．264;

9．下列四个命题：

①己知
服从正态分布

②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线

③命题冉已知
”是真命题

④已知点
则动点P的轨迹为双曲线的一支其中正确命题的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．已知向量
为单位向量，
最大僮为（ ）

A．
B．4 C．
D．2

11．抛物线
，直线l经过该抛物线的焦点F与抛物线交予A，B两点（A点在第一象限），且
，则三角形AOB（O为坐标原点）的甄积为（ ）

12．已知函数
的一个零点，若
，则符合条件的露的值有（ ）

A．l个 B．2个 C．3个 D．无数个

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第1 3题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第24题为选考题，考生依据要求作答。

二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应题号后的横线上

13．
的展开式中含有非零常数项，则正整数刀的最小值为 ．

14．设{}为等比数列，其中a4=2，a5=5，阅读如图所示的程序框图，则输出结果s为____．

15．将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组
所构成

的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小

于1的概率是____．

16．如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平

面ABCD．若
则四棱锥P-ABCD

的体积最大值为____

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

己知函数
的最小正周期为万，点（
，0）为它的图象的一个对称中心．

（I）求函数f（x）的单调递增区间；

（II）在△ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若
，求b+c的最大值．

18．（本小题满分12分）

某中学举行了一次“环保知识竞赛”．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为疗）进行统计，按照【50，60），【60,70），[70,80），【80,90），[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），【90，100]的数据）．

（I）求样本容量月和频率分布直方图中x，y的值；

（II）把在[60，70），[70，80），[80，90）的成绩分组的学生按分层抽样的方法抽取8人．求[60,70），[70，80），[80,90）成绩分组中各应该抽取的人数；

（III）在（II）中的8人中随机抽取4名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，记X为成绩在[60,70）的人数，求X的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥层-ABCD中，平面EAD⊥ABCD，CD//AB,BC⊥CD, EA⊥ED．且AB=4，BC =CD =EA=ED=2

（I）求证：BD⊥平面ADE；

（Ⅱ）求直线BE和平面CDE所成角的正弦值；

（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F，使得平面BDF上平面CDE？

如果存在点F，t请指出点F的位置；如果不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

如图，两条过原点。D的直线l1，l2分别与x轴、y轴正方向成30°的角，点P（x1，y1）在直线l1上运动，点Q（x2，y2）在直线l2上运动，且线段PQ的长度为2

（I）若
求动点M（x，y）的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过（-1，0）的直线l与（I）中轨迹C相交于A,B两点，

若△ABC的面积为
，求圆心在原点O且与直线l相切的圆

的方程

21．（本小题满分12分）

己知二次函数
，且函数
处取得极值．

（1）求a，b所满足的关系；

（Ⅱ）试判断是否存在
恒成立？如果存在，请求出符合条件的a的所有值；如果不存在，说明理由．

考生在第22、23、24题中任送—道作答，并糟28铅笔将答趣卡上所选的题目对反的题号右侧方框涂黑，按废涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的酋题进行评分．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知
CD=8，DE= 4，EF与
切于点F，BF与HD交于点G．

（I）证明：EF=EG；

（II）求GH的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

己知曲线Cl的参数方程为
，已知曲线C2的极坐标方程为

（1）写出曲线C1、C2的直角角坐标方程。

（2）若曲线C1和C2有旦只有一个公共点，求实数m的值．

24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式逡讲

已知函数

（I）当
的解集；

（Ⅱ）设
恒成立，求a的取值范围．

2015年辽宁重点中学协作体高考模拟考试

数学（理科）试卷参考答案

一、选择题：

CABDC DBCAD CB

二、填空题：

5 14. 4 15.
16.

三、解答题：

17.解：（Ⅰ）

为
的图像的对称中心

-----------------------------------4分

故
………………………6分

（Ⅱ）

………………………………9分

当且仅当
时取等号

故
的最大值为6……………………………………12分

18．解：（Ⅰ）由题意可知，

样本容量
，

，

． ..............3分

（Ⅱ）在
，
，
成绩分组的学生分别为15人，20人，5人，

现要按分层抽样抽取8人，则在
，
，
成绩分组中

各抽取3人，4人，1人. ...............................6分

（Ⅲ）

分布列为：

0

1

2

3















.....................................10分.

............................................12分

19.解：

（1）

又

又平面
平面
，平面

.....................................4分

如图建立空间直角坐标系

设平面
的法向量

设直线
与平面
所成的角为，得

即直线
与平面
所成的角的正弦值为
...................................8分

设

所以

设平面
的法向量

...................................10分

因为平面
的法向量

且平面BDF

所以

所以

故在线段
上存在一点F (靠近C点处的三等分点处)，

使得平面
......................................12分

20.解：（Ⅰ）
：
，
：
，

在直线
上运动，
在直线
上运动，

,
， …………………… 2分

由已知得直线
，且
得
，

即
，亦即
，

由

所以动点
的轨迹的方程为＋＝1 　…………………… 4分

（Ⅱ）解法一：当直线l⊥x轴时，得A(－1，)、B(－1，－)，

S△AOB＝·|AB|·|OF1|＝×3×1＝，不符合题意． ………………………………5分

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，k≠0，

由消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.

显然Δ＞0成立，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1·x2＝.

又|AB|＝＝ ＝ 

＝ ＝ ，

即|AB|＝ ·＝. 　　　　　　　………………………8分

又圆O的半径r＝＝，

所以S△AOB＝·|AB|·r＝··＝＝.

化简得17k4＋k2－18＝0，即(k2－1)(17k2＋18)＝0，

解得k＝1，k＝－(舍)，　　　　　　　　…………………………………10分

所以r＝＝，

故圆O的方程为x2＋y2＝. 　　　　　　　……………………………………12分

解法二：设直线l的方程为x＝ty－1，

由消去x，

得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0.

因为Δ＞0恒成立，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，

则y1＋y2＝，y1·y2＝－，

所以|y1－y2|＝

＝＝.　　　　………………………………………8分

所以S△AOB＝·|F1O|·|y1－y2|＝＝.

化简得18t4－t2－17＝0，即(18t2＋17)(t2－1)＝0，

解得t＝1，t＝－(舍)． 　　　　　…………………………………………10分又圆O的半径为r＝＝，

所以r＝＝，

故圆O的方程为x2＋y2＝ 　　　　　 ………………………………………12分

21.解：（Ⅰ）

处取极值

为
所满足的关系. ............4分

（Ⅱ）

(当
时，

.................................6分

(当
时，

ⅰ）若
时，
在
单调递减

故可得
...........................8分

ⅱ） 若
时

减

.......................10分

ⅲ） 若
时

，且
..............11分

综上：
.............................12分

22.解：（1）连接

则
四点共圆

是切线知

………………..5分

（2）

…………….10分

23.解：（1）

…………………4分

(2)当直线与圆相切时

……………7分

当直线过（0,0）点时

……………………………9分

综上：
……………………………10分

24.解：（1）设

由图象可知，
的解集
………………………5分

当
时，
可化为

对
恒成立，
………………10分