福州三中2015届高考校模拟试卷数学（理）试题

一、选择题：本大题共10小题，
每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 　　B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知集合
，
，若
，则实数
的取值

范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．执行如图所示的程序框图，若
，则输出的结果是（ ）

A．
B．

C．
D．

4．已知角
的终边经过点
，且
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

5．复数
在复平面上对应的点不可能位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限

6．设
为椭圆
的两个焦点，点
在椭圆上，若线段
的中点在
轴上，则
的值为 ( )

A．
B．
C．
D．

7．在如图
的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，

每一纵列成等比数列，那么
的值为（ ）

A．1 B． 2 C． 3 D． 4

8．定义在R上的函数
，对
都有
，则下列命题正确的是（ ）

A．
是偶函数 B．
是奇函数 C．
是偶函数 D．
是奇函数

9．若等式
对于一切实数
都成立，

则
( )

A．
B．
C．
D．0

10．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若
为无理数，则在过点
的所有直线中（ ）

A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点

B．恰有
条直线，每条直线上至少存在两个有理点

C．有且仅有一
条直线至少过两个有理点

D．每条直线至多过一个有理点

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共2
0分，把答案填在答题卡的相应位置．

11．一个总体分为
三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为
的样本，若
层中每个个体被抽到的概率都为
，则总体的个数为___________．

12．在
中，若角A为锐角，且
，则实数
的取值范围是________．

13．如图所示
方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个, 允许重复．若填入A方格的数字大于
方格的数字，则不同的填法共有_______种（用数字作答）．

14．如图，
在长方体
中，
，沿该

长方体对角面
将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，

那么这个四棱柱表面积的最大值为___________．

（14题图）

15．为了近似估计
的值，用计算机分别产生
个在
的均匀随机数
和
，在
组数对

中，经统计有
组

数对满足

，则以此估计的
值为________．

（15题图）

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分13分）

甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为
，但由于体力原因，第7场获胜的概率为
．

（Ⅰ）求甲队分别以
，
获胜的概率；

（Ⅱ）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X
的分布列及数学期望．

17.（本小题满分13分）

某同学用“五点法”画函数
（
）在某一个周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：











































（Ⅰ）请求出上表中的
的值，并写出函数
的解析式；（Ⅱ）将
的图像向右平移
个单位得到函数
的图像，若函
数
在区间

（
）上的图像的最高点和最低点分别为
，求向量
与
夹角
的大小．

18.（本小题满分13分）

在平面直角坐标系
中，点
与点
关于原点
对称，
是动点，且直线
与
的斜率之积等于
．

(Ⅰ)求动点
的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线
和
与直线
分别交于
两点，问：是否存在点
使得
与
的面积相等？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.

19．（本小题满分13分）

如图，菱形
的边长为
，现将
沿对角线
折起至
位置，并使平面
平面
．

(Ⅰ)求证：
；

(Ⅱ)在菱形
中，若
，求直线
与平面
所成角的正弦值；

(Ⅲ)求四面体
体积的最大值．

20．（本小题满分14分）

已知函数

．

(Ⅰ) 讨论函数
的单调性；

(Ⅱ) 若
，数列
满足
．

（1）若首项
，证明数列
为递增
数列；

（2）若首项为正整数，且数列
为递增数列，求首项
的最小值．

21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．

（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换

在平面直角坐标系中，矩阵
对应的变换将平面上的任意一点
变换为点
．

(Ⅰ)求矩阵
的逆矩阵
；

(Ⅱ)求圆
在矩阵
对应的变换作用后得到的曲线
的方程．

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，
轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线
过点
，斜率为
，曲线
：
．

(Ⅰ)写出直线
的一个参数方程及曲线
的直角坐标方程；

(Ⅱ)若直线
与曲线
交于
两点，求
的值．

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

已知
，函数
的最大值为
．

(Ⅰ)求实数
的值；

(Ⅱ)若实数
满足
，求
的最小值．

参考答案

一、选择题：

ADCBC CADB
C

9、解法一：∵
，

∴
（C为常数），

取
得
，

再取
得
，即得
，

∴
，故选B．

解法二：∵
，

∴

∴
，故选B．

10、解：设一条直线上存在两个有理点
，由于
也在此直线上，若
，则
为无理数与有理点予盾，所以
，于是
，又由于
为无理数，而
为有理数，所以
，于是
，所以直线只有一条，且这条直线方程只能是
，故正确的选项为C．

二、填空题

11．300

12．由于角A为锐角，所以

且
不共线，所以
且
，于是实数
的取值范围是
．

13．若A方格填3，则排法有
种，若A方格填2，则排法有
种，所以不同的填法有27种．

14．当
的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为
．

15．设
，则直线AB过原点，且阴
影面积等于直线AB与圆弧所

围成的弓形面积
，由图知，
，又
，所以

三、解答题：

16、解：（Ⅰ）设甲队以
，
获胜的事件分别为A，
B，

∵甲队第5，6场获胜的概率均为
，第7场获胜的概率为
，

∴
，
，

∴甲队以
，
获胜的概率分别为
和
．

（Ⅱ）随机变量X的可能取值为5，6，7，

∴
，

，

，

∴随机变量X的分布列为

X

 5

 6

 7














．

17、解：（Ⅰ）由条件知，
，
，∴
，
，

∴
，
．

（Ⅱ）∵函数
的图像向右平移
个单位得到函数
的图像，

∴
，

∵函数
在区间
（
）上的图像的最高点和最低点分别为
，

∴最高点为
，最低点为
， ∴
，
，

∴
，又
，∴
．

18、解：(Ⅰ) ∵点
与
关于原点
对称，∴点
，

设
，∵直线
与
的斜率之积等于
，

∴
，化简得

，

∴动点
的轨迹方程为

.

(Ⅱ)法一：设存在点
，使得
与
的面积相等，

∴
，

∵
，

∴
， 即
， ∴
，解得
，

∵
， ∴
， ∴满足条件的点P为
.

法二：设
，

∴
，解得
，

∴
，

∵
，
，又点
到直线
的距离