2014年普通高等学校招生全国统一考试文科数学

(第四次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：S圆台侧面积=

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．设z=1-i（i为虚数单位），则z2 +
=

A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i

2．已知
则

A．
B．
C．
D．

3．若函数
，则
等于

A．4 B．3

C．2 D．1

4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s值为

A．102 B．410

C．614 D．1638

5．等差数列{an}的前n项和Sn，若a3+ a7-a10=8，a11-a4=4，

则S13等于

A．152 B．154

C．156 D．158

6．在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2 A-sin2 C=（sinA-sinB） sinB,则角C等于

A．
B．
C．
D．

7． 已知双曲线
的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于
，则该双曲线的方程为

A．
B．

C．

D．

8．若把函数
的图像向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是

A．
B．
C．
D．

9．设、
为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m
，有如下的两个命题：①若∥
，则l∥m；②若
，则⊥
．那么

A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题

C．①②都是真命题 D．①②都是假命题

10．已知D是
中边BC上（不包括B、C点）的一动点，且满足
，则
的最小值为

A. 3 B.5 C.6 D.4

11．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为

A．
B．
C．
D．

12．若存在正实数
，对于任意
，都有
，则称函数
在
上是有界函数．下列函数：

①
； ②
； ③
； ④
，

其中“在
上是有界函数”的序号为（ ）

A. ②③ B. ①②③ C. ②③④ D. ③④

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．等差数列
中
，前项和为
,

，则
的值为____

14. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的

表面积为 　　.

15．已知
,
满足约束条件
,若
的最小值为,则
_______

16．下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据：

父亲身高（cm）

173

170

176



儿子身高（cm）

170

176

182





因为儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 ．

参考公式: 回归直线的方程是：
，

其中
；其中
是与
对应的回归估计值.

参考数据：
，
.

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17. (本小题满分12分)

设数列｛an｝的前n项和为Sn，

（I）求证: 数列｛an｝是等差数列;

（II）设数列
的前n项和为Tn，求Tn．

18．(本小题满分12分)

如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1，∠ACB=90°,

E、F分别是棱CC1、AB中点AA1=BC=4，AC=2。

（1）求证：
；

（2）求四棱锥A—ECBB1的体积；

（3）判断直线CF和平面AEB1的位置关系，并加以证明。

19．(本小题满分12分)

某高校在2010年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组
，第二组
，第三组
，第四组
，第五组
得到的频率分布直方图如图所示，

（1）求第三、四、五组的频率；

（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校

决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层

抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、

四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试。

（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名

学生中随机抽取2名学生接受甲考官的的面试，

求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率。

20. (本小题满分12分)

已知函数

（I）若
，判断函数在定义域内的单调性；

（II）若函数在
内存在极值，求实数m的取值范围。

21. (本小题满分12分)

已知椭圆
的中心在原点
，焦点在轴上，离心率为
，右焦点到右顶点的距离为．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）是否存在与椭圆
交于
两点的直线
：
，使得
成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．

如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，

且不与△ABC的顶点重合，已知AE的长为m，AC的

长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0

的两个根．

(1)证明：C，B，D，E四点共圆；

(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．

23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线
，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
.

（1）将曲线
上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
、2倍后得到曲线
.试写出直线
的直角坐标方程和曲线
的参数方程；

（2）在曲线
上求一点P，使点P到直线
的距离最大，并求出此最大值.

24．（本小题满分10分）选修4—5，不等式选讲

已知函数

（1）若a=1，解不等式
；

（2）若
，求实数的取值范围。

2014届高三第五次模拟数学（文科）试卷参考答案

一．选择题：CCBBC BDCBD DA

二、填空题：13.2014 14,
15.
16.185cm

17. 解：（I）由

得

即

是以1为首项，4为公差的等差数列…………6分

（II）

…………12分

18. 解： （1）证明：三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，

平面ABC 1分

又
平面ABC， 2分

3分

（2）解：三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，

平面ABC，

又
平面ABC

平面ECBB1 6分

7分

是棱CC1的中点，

8分

（3）解：CF//平面AEB1，证明如下：

取AB1的中点G，联结EG，FG

分别是棱AB、AB1中点

又

四边形FGEC是平行四边形

又
平面AEB，
平面AEB1，

平面AEB1。12分

19. 解：（1）由题设可知，第三组的频率为0．06×5=0．3

第四组的频率为0．04×5=0．2

第五组的频率为0．02×5=0．1………………………………………3分

（2）第三组的人数为0．3×100=30

第四组的人数为0．2×100=20

第五组的人数为0．1×100=10……………………………………6分

因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽到的人数分别为：第三组

第四组

第五组

所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人．……………9分

（3）设第三组的3位同学为
,第四组的2位同学为
，

第五组的1位同学为

则从6位同学中抽2位同学有：

,
,
,
,
,
,
,

,
,
,
,
,
,

共15种可能………………10分

其中第四组的2位同学
中至少1位同学入选有
,
，
,
，
,

,
,
共9种可能……………………11分

所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为
……………………12分

20. 解：（I）显然函数定义域为（0，+）若m=1，

令
………………2分

当
单调递增；

当
单调递减。 ………………6分

（II）

令
………………8分

当
单调递增；

当
单调递减。 ………………6分

故当
有极大值，根据题意

………………12分

21.（Ⅰ）设椭圆
的方程为

，半焦距为. 依题意
，由右焦点到右顶点的距离为，得
．解得
，
．所以
．

所以椭圆
的标准方程是
．………4分

（Ⅱ）解：存在直线
，使得
成立.理由如下：

由
得
．

，化简得
．

设
，则
，
．

若
成立，即
，等价于
．所以
．
，

，
,

化简得，
．将
代入
中，
，解得，
．又由
，
，

从而
，
或
．

所以实数的取值范围是
． ……………12分

22. [解析]　(1)连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，

即＝.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE
△ACB.

因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．

(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH，由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.从而HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5.

故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.

２３．解(Ⅰ) 由题意知，直线
的直角坐标方程为：
，………………2分

∵曲线
的直角坐标方程为：
，

∴曲线
的参数方程为：