汕头市潮南区2014-2015学年度高三模拟考试数学（理）试卷

参考公式：锥体的体积公式：
,其中
是底面面积，
是高．

柱体的体积公式：
,其中
是底面面积，
是高．

圆锥的侧面积公式：
，其中是圆锥的底面半径，
是母线长．

参考数据：

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0．OlO

0.005

0.001





0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.84I

5.024

6.635

7.879

10.828



一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1.若复数
，则在复平面上对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 已知集合
，
,且
,则

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

3. 通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表

男

女

总计



爱好

40

20

60



不爱好

20

30

50



总计

60

50

110



由上表算得
，因此得到的正确结论是

A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

4. —个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为

A.
B.
C.
D.

5. “
”是“一元二次不等式
的解集为R”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6. 设F是双曲线
的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF| +|PA|的最小值为

A. 5 B.
C. 7 D. 9

7. 如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在

其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂

一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为

A．84 B．72 C.64 D．56

8. 已知f（x）=x2，g（x）=|x﹣1|，令f1（x）=g（f（x）），fn+1（x）=g（fn（x）），则方程f2015（x）=1解的个数为（　　）

　 A． 2014 B． 2015 C． 2016 D． 2017

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

(一）必做题(9?13题）

9. 计算
.

10.若

n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 .

11. 等差数列{an}前n项和为Sn，公差d<0，若S20>0,S21<0,，当Sn取得最大值时，n的值为_______

12. 给出下列六种图象变换方法：

①图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变；

②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；

③图象向右平移
个单位；④图象向左平移
个单位；

⑤图象向右平移
个单位；⑥图象向左平移
个单位.

请用上述变换中的两种变换，将函数
的图象变换到函数
的图象，那么这两种变换的序号依次是_______

(填上一种你认为正确的答案即可）.

13. 运行如图所示框图，坐标满足不等式组
的点共有____个.

(二）选做题（14?15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）

已知直线
的参数方程为
（为参数），曲线
的极坐标方程为
，点是直线
上的一个动点，过点作曲线
的切线，切点为
，则
的最小值为 。

15．（平面几何选做题）

已知
为半圆
的直径，
，
为半圆上一点，

过点
作半圆的切线
，过点作
于，交半

圆
于点，
，则
的长为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

16. （本题满分12分）

在平面直角坐标系
中，以
轴为始边,锐角的终边与单位圆在第一象限交于点A，且点A的纵坐标为
，锐角
的终边与射线x-7y=0（
）重合．

（1）求
的值；（2） 求
的值．

17．(本题满分12分)

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：

甲：82 81 79 78 95 88 93 84

乙：92 95 80 75 83 80 90 85

（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；

（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由；

（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为
，求
的分布列及数学期望
.

18.（本小题满分14分）

如图，直角梯形
与等腰直角三角形
所在的平面互相垂直．

∥
，
，
，
．

（1）求证：
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（3）线段
上是否存在点，使
// 平面
？

若存在，求出
；若不存在，说明理由．

19. （本小题满分14分）

在单调递增数列
中，
，
，且
成等差数列，
成等比数列，
．

（1）分别计算
，
和
，
的值；

（2）求数列
的通项公式（将
用表示）；

（3）设数列
的前项和为
，证明：
，
．

20. （本小题满分14分）

如图，椭圆

过点
，其左、右焦点分别为
，离心率
，
是直线x=4上的两个动点，且
．

（1）求椭圆的方程；

（2）求
的最小值；

（3）以
为直径的圆是否过定点？请证明你的结论．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
为实数）有极值，且在
处的切线与直线
平行.

（Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数
的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设函数
，试判断函数
在
上的符号，

并证明：

。

汕头市潮南区2014-2015学年度高三模拟考试

数学（理）试卷

一、选择题： A D C C B D A D

8、【分析】： 利用特殊值法分别求出f1（x），f2（x），f3（x），f4（x）的解的个数，从而找到规律，进而求出f2015（x）的解的个数．

【解析】： 解：∵f（x）=x2，g（x）=|x﹣1|，

∴n=0时：f1（x）=g（x2）=|x2﹣1|，

令|x2﹣1|=1，方程f1（x）有2=0+2个解，

n=1时：f2（x）=g（|x2﹣1|）=||x2﹣1|﹣1|，

令||x2﹣1|﹣1|=1，方程f2（x）有4=2+2个解，

n=2时：f3（x）=|||x2﹣1|﹣1|﹣1|，

令|||x2﹣1|﹣1|﹣1|=1，方程f3（x）有5=3+2个解，

n=3时：f4（x）=||||x2﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|，

令||||x2﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=1，方程f4（x）有6=4+2个解，

…，

n=2014时：f2015（x）有2017=2015+2个解，

故选：D．

二、填空题：9.
10.
. 11. 10 12 ④②或②⑥ 13. _2__ 14．
15．2

三、解答题16. （本题满分12分）

在平面直角坐标系
中，以
轴为始边,锐角的终边与单位圆在第一象限交于点A，且点A的纵坐标为
，锐角
的终边与射线x-7y=0（
）重合．

（1）求
的值；（2） 求
的值．

解：（1）由条件得
，
为锐角，故
且
， ………2分

所以
………………………………………………………………………………3分

因为锐角
的终边与射线x-7y=0（
）重合，所以
……………6分

（2）
，

…………………………………………7分

…………8分

，
在
上单调递增，

且
，∴
，……………10分

同理
，∴
……………11分

从而

………………12分

17．(本题满分12分)

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：

甲：82 81 79 78 95 88 93 84

乙：92 95 80 75 83 80 90 85

（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；

（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由；

（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为
，求
的分布列及数学期望
.

解：（1）茎叶图如下：

………………2分

学生乙成绩中位数为84，…………4分

（2）派甲参加比较合适，理由如下：

………………5分

=35.5

=41……………………7分

∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适……………………8分

（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，

则
……………………9分

随机变量
的可能取值为0，1，2，3，

且
服从B（
）
k=0，1，2，3

0

1

2

3



P













的分布列为：

（或
） 12分

18.（本小题满分14分）

如图，直角梯形
与等腰直角三角形
所在的平面互相垂直．

∥
，
，
，
．

（1）求证：
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（3）线段
上是否存在点，使
// 平面
？

若存在，求出
；若不存在，说明理由．

解：（1）证明：取
中点
，连结
，
．

因为
，所以
．

因为四边形
为直角梯形，
，
，

所以四边形
为正方形，所以
．

所以
平面
． 所以
． ………………4分

（2）解法1：因为平面
平面
，且

所以BC⊥平面

则
即为直线
与平面
所成的角

设BC=a，则AB=2a，
，所以

则直角三角形CBE中，

即直线
与平面
所成角的正弦值为
． ………………9分

解法2：因为平面
平面
，且
，

所以
平面
，所以
．

由
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
．

因为三角形
为等腰直角三角形，所以
，设
，

则
．

所以
，平面
的一个法向量为
．

设直线
与平面
所成的角为
，

所以
，

即直线
与平面
所成角的正弦值为
． ………9分

（3）解：存在点，且
时，有
// 平面
．

证明如下：由
，
，所以
．

设平面
的法向量为
，则有

所以
取
，得
．

因为

，且
平面
，所以
// 平面
．

即点满足
时，有
// 平面
． ………………14分

19. （本小题满分14分）

在单调递增数列
中，
，
，且
成等差数列，
成等比数列，
．

（1）分别计算
，
和
，
的值；

（2）求数列
的通项公式（将
用表示）；

（3）设数列
的前项和为
，证明：
，
．

解：（1）由已知，得
，
，
，
　. ……2分

（2）（证法1）
，
，
，……；

，
，
，…….∴猜想