怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2015年

高三第二次模考文科数学

命题人：怀铁一中 龚开玖 审题人：丁立红、周寒辉、包小青、张理科

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.

1. 已知集合
，
，则
为

A.
B.
C.
D.

2. 下列说法正确的是

A．命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”；

B．命题“
”的否定是“
”；

C．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题；

D．“
” 是“
”的必要不充分条件.

3. 设
（为虚数单位），则的共轭复数为

A．
B．
C．
D．

4．对任意非零实数
，定义
的算法原理

如右侧程序框图所示.设
，
,则计算

机执行该运算后输出的结果是

5.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，

则正视图中的的值是

A.2 B.
C.
D.3

6. 定义在R上的奇函数
满足
，

当
时，
，则
在区间
内是

A.减函数且
B.减函数且

C.增函数且
D.增函数且

7.若正项数列
满足
,且
，则

的值为

A．2015×1010 B．2015×1011 C．2016×1010 D．2016×1011

8.设
、
是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点，使
,则椭圆离心率的取值范围是

A.
B.
C.
D.

9.已知非零向量
满足
，则
与
的夹角为

　 A.
B.
C.
D.

10.定义域为的函数
,若关于的函数

有5个不同的零点
，
，
，
，
，则
等于

A.15 B.20 C.30 D.35

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.

11.在极坐标系中，圆
的圆心到直线
的距离是 .

12.已知
为由不等式组
所确定的平面区域上的动点，若点
，则
的最大值为 .

13.已知命题:
，命题:
若命题“
”是真命题，则实数的取值范围是 .

14. 式子
的值为 .

15．设函数
定义域为，若存在非零实数，使得对任意
,都有
，且
成立，则称
为
上的“频函数”. 若
为区间
上的“频函数”，则的取值范围是　 　 　 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分12分)

设函数
.

（Ⅰ）求
的最小正周期及值域；

（Ⅱ）已知
中，角
的对边分别为
，若
，
，
，求
的面积．

17．(本小题满分12分)

在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：

表1：男生 表2：女生

等级

优秀

合格

尚待改进



等级

优秀

合格

尚待改进



频数

15



5



频数

15

3





（Ⅰ）从表2的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；

（Ⅱ）由表中统计数据填写右边
列联表，并判断

是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．

参考数据与公式：
，其中
．

0.10

0.05

0.01





2.706

3.841

6.635



临界值表：

18．(本小题满分12分)

如图，四棱锥
中，
是正三角形，四边形
是矩形，且面
面
,
,
.

(Ⅰ) 若点是
的中点，求证：
面
；

(Ⅱ) 若点在线段
上，且
,

求三棱锥
的体积.

19．(本小题满分13分)

已知数列
是等差数列，数列
是等比数列，
，且对任意的
，都有
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
的首项为3，公比为3，设
，且对任意的
，都有
成立，求实数
的取值范围．

20．(本小题满分13分)

已知抛物线的顶点是坐标原点
，焦点在轴正半轴上，抛物线上一点
到焦点距离为4，过点的直线
与抛物线交于
两点．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若点在抛物线准线上运动，其纵坐标的取值范围是
，且
，点
是以
为直径的圆与准线的一个公共点，求点
的纵坐标的取值范围．

21. (本小题满分13分)

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
在
处的切线方程；

（Ⅱ）若
在
上为单调函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若在
上至少存在一个
，使得
成立，求实数
的取值范围.

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷

2015年高三二模 文科数学参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

C

A

B

D

B

A

A

B

C



二、填空题：

11、； 12、4； 13、
； 14、
； 15、
.

16解： （Ⅰ）
=
…… 3分

所以
的最小正周期为
………………… 4分

∵
∴
， 故
的值域为
…………… 6分

（Ⅱ）由
得
，

又
，得
………………… 8分

由余弦定理，得
=
，又
，
，

所以
，解得
……………… 10分

所以
的面积
…………………12分

17解：（Ⅰ）设从高一年级男生中抽出人，则
，
，

∴
…………… 2分

表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为
，尚待改进的人为
，

则从这5人中任选2人的所有可能结果为：
，
，
，
，
，
，

，
，
，
共10种 ………………… 4分

设事件
表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，

则
的结果为：
，共6种……………6分

∴
， 故所求概率为
………………… 8分

男生

女生

总计



优秀

15

15

30



非优秀

10

5

15



总计

25

20

45



（Ⅱ）

∵
，
，

而
…………………11分

所以没有
的把握认为“测评结果优秀与性别有关” …………………12分

18解：（Ⅰ）连接AC，设
,
。

在

………… 5分

(Ⅱ)

,

所以
…………………12分

19解：（Ⅰ）因为
，

所以 当
时，
，

两式相减，得
（
），

又当
时，
，适合上式，

从而
（
） ………………… 6分

（Ⅱ）因为数列
的首项为3，公比为3，故
，
，

所以
．

因为对任意的
，都有
成立，

即
恒成立，

化简得
………………… 8分

当为奇数时，
恒成立，所以
，即
………10分

当为偶数时，
恒成立，所以
，即
……12分

综合可得
………………… 13分

20解：（Ⅰ）设抛物线方程为
………………… 1分

由题意可得：

………………… 3分

所求抛物线方程为
…………………………4分

（Ⅱ）设直线
的方程为
，

联立抛物线消去，得
，即
．

设
，则
，
，

所以
，

………………………… 7分

由条件可设的坐标为
，

则

．

所以
或
， 而
，

所以
或
……………………10分

根据抛物线的定义可知，以
为直径的圆与抛物线的准线相切，

所以点
的纵坐标为
，

从而点
的纵坐标的取值范围是
…………………… 13分

21解： （Ⅰ）切线方程为
…………………4分

(Ⅱ).

∵
在其定义域内为单调函数，

∴
或者
在[1，＋∞）恒成立．

或者
在[1，＋∞）恒成立 ……………………… 7分

∴m的取值范围是
……………………………8分

（Ⅲ）构造
，

则转化为：若在
上存在
，使得
，求实数
的取值范围………9分

①当
在
上恒成立。

………………………10分

②当k>0时，

………………………12分

综上：k的取值范围是
………………………13分