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高三数学（理科）

2015.9

本试卷共4页，分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

注意事项:

1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

2．每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.

一、选择题：本大题共10小题，每小题
分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
等于

A．
B．
C．
D．

2．
，则“
”是“
”的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件

3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是

①平行于同一直线的两条直线平行；

②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；

③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．

A．①②③ B．①③ C．① D．②③

4．从字母a，b，c，d，e，f中选出4个数排成一列，其中一定要选出a和b，并且必须相邻(a在b的前面)，共有排列方法

A．36种 B．72种 C．90种 D．144种

5．已知命题
:若
，则
；命题
:若
，则
；在下列命题中：

，真命题是

A．（1）（3） B. （1）（4） C. （2）（3） D. （2）（4）

6．下列推理过程是演绎推理的是

A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质

B．某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人

C．两条直线平行，同位角相等；若
与
是两条平行直线的同位角，则

D．在数列
中，
，
，由此归纳出
的通项公式

7．函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上的减区间是[－1,1]，则

A．a＝ B．a＝1 C．a＝2 D．a≤0

8．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从小组中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于的是

A．P(ξ＝2) B．P(ξ＝3) C．P(ξ≤2) D．P(ξ≤3)

9.若

则
的值为

A．
B．
C．1 D． 2

10．已知定义在实数集R的函数
满足
(1)=4,且
导函数
，则不等式
的解集为

A.
B.
C.
D.



第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)

注意事项:

1. 第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题

2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置.

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)

11．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤3)＝0.841 3，则P(ξ≤1)＝________.

12．设动点
满足
，则
的最大值是

13．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为________．

14.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是________．

15．定义在R上的奇函数
，当
时
恒成立，若
，
，
，则
的大小关系为___ ；

三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）命题
：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，

：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数.若
为真，
为假.

求实数a的取值范围．

17. （本小题满分12分）已知复数
（
是虚数单位），函数
．

（1） 若
,求实数
的值;

（2）解不等式
.

18．（本小题满分12分）

观察下列等式

第一个式子

第二个式子

第三个式子

第四个式子

照此规律下去

（Ⅰ）写出第5个等式；

（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．



19. （本小题满分12分）如图所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的厚度d的平方和宽度a的乘积成正比，同时与它的长度
的平方成反比．

（1）在a＞d＞0的条件下，将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷会发生变化吗？变大还是变小？

（2）现有一根横截面为半圆（半圆的半径为R=
）的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度l，问横截面如何截取，可使安全负荷最大？





20. （本小题满分13分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为
，且各次击鼓出现音乐相互独立．

(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．

(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

21. （本小题满分14分）已知函数
.

当
时，求函数
的单调区间；

时，令
，求
在
的最大值和最小值；

（3）当
时，函数
图像上的点都在不等式组
所表示的区域内，求实数a的取值范围.

理科数学试题参考答案

一、CBAAC,CABBD

二、11. 0.1587 12.100 13. 　－3 14.  15.a>c>b

三、

16. 解 :设g(x)＝x2＋2ax＋4，

由于关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图像开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0，∴－2

又∵函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，

∴3－2a>1，∴a<1. …………4分

又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．…………5分

(1)若p真q假，则

∴1
a<2；…………8分

(2)若p假q真，则
∴
…………11分

综上可知，所求实数a的取值范围为
a<2，或a
－2…………12分

17. 解：（Ⅰ）
， ……………………………… 1分

由
得
，…………………… 2分

即
，所以
，解得
，
； ……6分

（2）由（1）知，
.所以

…………………… 7分

令
，则

…………………… 10分

作出函数
的图象，它与直线
的交点为
和
．…………………… 1分

所以
的解集为
…………………… 12分

注：用零点分区间法相应给分。

18. 解：（Ⅰ）第5个等式
…………………… 3分

（Ⅱ）猜测第
个等式为
……………… 6分

证明：（1）当
时显然成立；…………………… 7分

（2）假设
时也成立，

即有
…………………… 8分

那么当
时左边

…………………… 11分

而右边
这就是说
时等式也成立．

根据（1）（2）知，等式对任何
都成立．…………………… 12分

19. 解：设安全负荷为
,………………1分

翻转90°后
,………2分

可得：
,……………3分

当a＞d＞0时，

1 . 此时枕木的安全负荷变大．……………5分

（2）设截取的宽为a（0＜a＜2
），高为d，
…6分

其长度l及k为定值，安全负荷为

令

……………8分

此时
…………9分

由
,可得

∴
……………………11分

所以当宽
时，
取得取大值，此时高
，

所以，当宽
，高
时，安全负荷最大……………12分

20. 解：(1)X可能的取值为10，20，100，－200. …………………… 1分

根据题意，有P(X＝10)＝C××＝，

P(X＝20)＝C××＝，P(X＝100)＝C××＝，

P(X＝－200)＝C××＝.…………………… 5分

所以X的分布列为：

X

10

20

100

－200



P













………… 7分

X的数学期望为EX＝10×＋20×＋100×－200×＝－…………………… 9分

(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，则

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)＝P(X＝－200)＝.…………………… 10分

所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为

1－P(A1A2A3)＝1－＝1－＝.

因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.…………………… 13分

所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－＝1－＝.

因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.…………………… 13分

21. 解：（1）
,
,(x>0) …………………… 1分

f＇(x)
，……………………2分

当0< x < 2时，f＇(x)>0，f(x)在（0,2）单调递增；

当x>2时，f＇(x)<0，f(x)在
单调递减；

所以函数的单调递增区间是（0,2），单调递减区间是
。……………………4分

（2）
，令