南京市2016届高三学情调研考试--数学

参考公式

样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－)2，其中＝ xi．

锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1＞0}，则A∩B＝．

2．已知复数z满足：z(1－i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为．

3. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为．

4．从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．

5．已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，且 a∥(2a＋b)，则实数m的值为．

6．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为．

7．如图，它是函数f(x)＝Asin(?x＋()(A＞0，?＞0，(([0，2() )图象的一部分，则f (0)的值为．

8．已知双曲线－＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为2x－y＝0，则该双曲线的离心率为．

9．直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，E为棱CC1的中点，则三棱锥A1－B1C1E的体积

为

10．对于直线l，m，平面α，m(α，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．

11．已知函数f(x)＝x3＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1，2)上有极值，则实数
的取值范围为．

12．已知平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°．若E为DC中点，且·＝1，则·的值为．

13．已知等比数列{an}的公比q＞1，其前n项和为Sn．若S4＝2S2＋1，则S6的最小值为．

14．在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长

为．

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝bcosA．

（1）求的值；

（2）若sinA＝，求sin(C－)的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．

（1）求证：PC // 平面BDE；

（2）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．

17．（本小题满分14分）

某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5．已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．

（1）写出新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式；

（2）设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3．问：P能否大于，说明理由．

18．（本小题满分16分）

已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，一条准线方程为x = 2．过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数．

19．（本小题满分16分）

已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x－b，b∈R．

（1）若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，求b的值；

（2）设T(x)＝f(x)＋ag(x)，a∈R，求函数T(x)的单调增区间；

（3）设h(x)＝|g(x)|·f(x)，b＜1．若存在x1，x2[0，1]，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b的取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5－a3＝13，S4＝16．

（1）求数列{an}的前n项和Sn；

（2）设Tn＝(－1)iai，若对一切正整数n，不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1 恒成立，求实数λ的取值范围；

（3）是否存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．

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数学附加题 2015.09

注意事项：

1．附加题供选修物理的考生使用．

2．本试卷共40分，考试时间30分钟．

3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2＝AB·ED．

B．选修4－2：矩阵与变换

已知点P(3，1)在矩阵A＝变换下得到点P′(5，－1)．试求矩阵A和它的逆矩阵A．

C．选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数，m为常数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)=．若直线l与圆C有两个公共点，求实数m的取值范围．

D．选修4－5：不等式选讲

设实数x，y，z满足x＋5y＋z＝9，求x＋y＋z的最小值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

假定某射手射击一次命中目标的概率为．现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，求：

（1）X的概率分布；

（2）数学期望E(X)．

23．（本小题满分10分）

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB＝，CE＝1，CE⊥平面ABCD．

（1）求异面直线DF与BE所成角的余弦值；

（2）求二面角A－DF－B的大小．

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数学参考答案及评分标准 2015.09

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．{2} 2． 3．0.032 4． 5．2

6．5 7． 8． 9． 10．必要不充分

11．(，4) 12．3 13．2＋3 14．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．

15．解：（1）由acosB＝bcosA，得sinAcosB＝sinBcosA， …………………………………3分

即sin(A－B)＝0．

因为A，B∈(0，π)，所以A－B∈(－π，π)，所以A－B＝0，

所以a＝b，即＝1． ………………………………………………………………………6分

（2）因为sinA＝，且A为锐角，所以cosA＝． ………………………………………8分

所以sinC＝sin(π－2A)＝sin2A＝2sinAcosA＝， ………………………………………10分

cosC＝cos(π－2A)＝－cos2A＝－1＋2sin2A＝－．…………………………………………12分

所以sin(C－)＝sinCcos－cosCsin＝．……………………………………………14分

16．证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．

因为ABCD是平行四边形，所以OA＝OC．…………………………………………………2分

因为 E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…………………………………………………4分

因为PC平面BDE，OE(平面BDE，所以PC // 平面BDE．……………………………6分

（2）因为E为PA中点，PD＝AD，所以PA⊥DE．………………………………………8分

因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．

因为OE(平面BDE，DE(平面BDE，OE∩DE＝E，

所以PA⊥平面BDE．………………………………12分

因为PA(平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．

………………………………14分

17．解：（1）依题意得 y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*． …………………………………………4分

（2）方法一 依题意x＝0.2a． ……………………………………………………6分

所以P＝＝＝＝ …………………………………………8分

≤＝≤＝＜． ……………………………………13分

答：P不可能大于． ……………………………………………………14分

方法二 依题意x＝0.2a． ……………………………………………………6分

所以P＝＝＝＝．…………………………………………8分

假设P＞，得ka2－20a＋25k＜0． …………………………………………10分

因为k≥3，所以△＝100(4－k2)＜0，不等式ka2－20a＋25k＜0无解．……………………13分

答：P不可能大于． ……………………………………………………14分

18．解： ⑴因为＝， = 2，

所以a＝，c＝1，所以b＝＝１．

故椭圆的方程为＋y2＝1． ………………………………………………4分

⑵解法一 设P点坐标为(x1，y1)，则Q点坐标为(x1， – y1)．

因为kAP＝＝，所以直线AP的方程为y＝x＋1．

令y = 0，解得m＝－. ………………………………………………8分

因为kAQ＝＝－，所以直线AQ的方程为y＝－x＋1．

令y＝0，解得n＝． ………………………………………………12分

所以mn＝( ＝． ………………………………………………14分

又因为(x1，y1)在椭圆+ y2 = 1上，所以 + y= 1，即1－y= ，

所以＝2，即mn＝2．

所以mn为常数，且常数为2． ………………………………………………16分

解法二 设直线AP的斜率为k(k≠0)，则AP的方程为y = kx +1，

令y = 0，得m＝－． ………………………………………………6分

联立方程组

消去y，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，解得xA＝0，xP =－， ………………………8分

所以yP＝k×xP＋1＝，

则Q点的坐标为(－，－)． ………………………………………………10分

所以kAQ＝＝，故直线AQ的方程为y＝x＋1．

令y＝0，得n＝－2k， ………………………………………………14分

所以mn＝(－)((－2k)＝2．

所以mn为常数，常数为2． ………………………………………………16分

19．解：(1)设切点为(t，et)，因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，

所以et＝1，且et＝t－b，

解得b＝－1． …………………………………………………2分

（2)T(x)＝ex＋a(x－b)，T′(x)＝ex＋a．

当a≥0时，T′(x)＞0恒成立． ………………………………………………4分

当a＜0时，由T′(x)＞0，得x＞ln(－a)． ………………………………………………6分

所以，当a≥0时，函数T(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；

当a＜0时，函数T(x)的单调增区间为(ln(－a)，＋∞)． ……………………………8分

（3) h(x)＝|g(x)|·f(x)＝

当x>b时，h′(x)＝(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(b，＋∞)上为增函数；

当x

因为b－1＜x＜b时，h′(x)＝－(x－b＋1) ex＜0，所以h(x)在(b－1，b)上是减函数；

因为x＜b－1时， h′(x)＝－(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(－∞，b－1)上是增函数．

……………………………10分

当b≤0时，h(x)在(0，1)上为增函数．

所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(0)＝－b．

由h(x)max－h(x)min＞1，得b＜1，所以b≤0． ……………………………12分

②当0＜b＜时，

因为b＜x＜1时， h′(x)＝(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(b，1)上是增函数，

因为0＜x＜b时， h′(x)＝－(x－b＋1) ex＜0，所以h(x)在(0，b)上是减函数．

所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(b)＝0．

由h(x) max－h(x) min＞1，得b＜．

因为0＜b＜，所以0＜b＜． ……………………………14分

③当≤b＜1时，

同理可得，h(x)在(0，b)上是减函数，在(b，1)上是增函数．

所以h(x)max＝h(0)＝b，h(x)min＝h(b)＝0．

因为b＜1，所以h(x)max－h(x)min＞1不成立．

综上，b的取值范围为(－∞，)． ………………………………………16分

20．解：(1)设数列{an}的公差为d．

因为2a5－a3＝13，S4＝16，

所以解得a1＝1，d＝2，……………………………………………2分

所以an＝2n－1，Sn ＝n2． ……………………………………………4分

(2)①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，

则T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k． ……………………………………………5分

代入不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1 ，得λ·2k＜4k，从而λ＜．

设f(k)＝，则f(k＋1)－f(k)＝－＝．

因为k∈N*，所以f(k＋1)－f(k)＞0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min＝2，

所以λ＜2． ……………………………………………7分

②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，

则T2k－1＝T2k－(－1)2ka2k＝2k－(4k－1)＝1－2k． ……………………………………………8分

代入不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1 ，得λ·(1－2k)＜(2k－1)4k，

从而λ＞－4k．

因为k∈N*，所以－4k的最大值为－4，所以λ＞－4．

综上，λ