山东省实验中学2016届高三上学期第一次诊断测试

理科数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、在复平面内，复数
对应的点到直线
的距离是（ ）

A．
B．
C．
D．

2、不等式
的解集是（ ）

A．
B．
C．
D．

3、函数
（
为自然对数的底数）的零点所在的区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

4、给出下列命题：

①若直线
与平面
内的一条直线平行，则
；②若平面
平面
，且
，则过
内一点
与
垂直的直线垂直于平面
；③
，
；④已知
，则“
”是“
”的必要不充分条件．

其中正确命题的个数是（ ）

A．
B．
C．
D．

5、一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：
），则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6、将函数
向右平移
个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的
倍，得到函数
的图象，则函数
与
，
，
轴围成的图形面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

7、已知函数
是定义在
上的偶函数，且
，且对任意
，有
成立，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8、若实数
，
满足不等式组
，目标函数
的最大值为
，则实数
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

9、已知
为抛物线
上一个动点，
为圆
上一个动点，那么点
到点
的距离与点
到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

10、已知直线
（
，
不全为
）与圆
有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）

A．
条 B．
条 C．
条 D．
条

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11、已知过双曲线
（
，
）右焦点且倾斜角为
的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是 ．

12、将
（
）的展开式中
的系数记为
，则
．

13、已知
为三角形
的边
的中点，点
满足
，
，则实数
的值为 ．

14、已知数列
中，
，
，利用如图所示的程序框图输出该数列的第
项，则判断框中应填的语句是
（填一个整数值）．

15、设函数
，若
恰有
个零点，则实数
的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16、（本小题满分12分）设函数
，其中向量
，
．

求函数
的最小正周期与单调递减区间；

在
中，
、
、
分别是角
、
、
的对边，已知
，
，
的面积为
，求
外接圆半径
．

17、（本小题满分12分）数列
的前
项和记为
，
，
（
）．

求
的通项公式；

等差数列
的各项为正，其前
项和为
，且
，又
，
，
成等比数列，求
．

18、（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱
的各条棱长均为
，
是侧棱
的中点．

求证：平面
平面
；

求异面直线
与
所成角的余弦值；

求平面
与平面
所成二面角（锐角）的大小．

19、（本小题满分12分）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
，
，
，且各轮问题能否正确回答互不影响．

求该选手被淘汰的概率；

记该选手在考核中回答问题的个数为
，求随机变量
的分布列与数学期望．

20、（本小题满分13分）如图，椭圆

（
）经过点
，离心率
．

求椭圆
的方程；

设直线
与椭圆
交于
，
两点，点
关于
轴的对称点为
（
与
不重合），则直线
与
轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

21、（本小题满分14分）已知函数
（
为常数，
为自然对数的底数）是实数集
上的奇函数，函数
在区间
上是减函数．

求实数
的值；

若
在
上恒成立，求实数
的取值范围；

讨论关于
的方程
的根的个数．

山东省实验中学2016届高三上学期第一次诊断测试

理科数学试题参考答案

一.选择题

ABADA BCDCB

二.填空题

11.
12.
13. -2 14.10 15.
或

三.解答题

16.解：(1)由题意得：
．

所以，函数
的最小正周期为
，由
得

函数
的单调递减区间是
……………………………6分

(2)
，解得
，

又
的面积为
.得
.

再由余弦定理
，解得

，即△
为直角三角形．
…………………………l2分

17.解：（1）由
可得
，

两式相减得
，

又
∴
，

故{an}是首项为1，公比为3得等比数列，所以，
. ……………………6分

（2）设{bn}的公差为d，由
得，可得
，可得
，

故可设

又
由题意可得

解得

∵等差数列{bn}的各项为正，∴
，∴

∴
…………………l2分

18．(l)证明：取
的中点
，
的中点
．连结
．

故
．又
四边形
为平行四边形，

∥
．又三棱柱
是直三棱柱．△
为正三角形．
平面
，
，而
，
平面
，又
∥
，
平面
．

又
平面
．所以平面
平面
．…………………………4分

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则

设异面直线
与
所成的角为
，则

故异面直线
与
所成角的余弦值为
……………………8分

(3)由(2)得

设
为平面
的一个法向量．

由
得，

即

显然平面
的一个法向量为