佛山市第一中学2015届高三上学期第一次月考

数学（理）试题

一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，总分40分；每个小题仅有一个最恰当的选项，请将你的答案填涂在答题卡上）

1、已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝；②
是周期函数；③
是单调函数；④
是偶函数；

其中正确的结论个数为：

　　 A．0 　　B．1 C．2 　　D．3

8、如图，对于曲线Ψ所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得α≥∠AOB对于曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B恒成立，则称角α为曲线Ψ的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Ψ的相对于点O的“确界角”．已知曲线C：
（其中e=2.71828…是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线C的相对于点O的“确界角”为



A．
　　B．
C．
　　D．

二、填空题：(本题共6个小题，每小题5分，共30分，

请将你的答案写在答卷上相应位置）

9、
= ．

10、
＝________．

11、已知函数
（
）是区间
上的单调函数，则
的取值范围是 ．

12、若函数
恰有两个零点，则
的取值范围为 ；

3、在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 .

14、已知真命题:“函数
的图像关于点
成中心对称图形”的充要条件为“函数
是奇函数”.则函数
图像的对称中心坐标为 .

三、解答题：本题共6小题，共80分，请在答卷的相应位置作答）

15、(本小题满分12分)　

已知函数

（1）求函数
的最小正周期；（6分）

（2）若
x∈，都有f(x)－c≤0，求实数c的取值范围．（6分）

16、(本小题满分12分)

如图,
是边长为
的正方形，
平面
，
，
，
与平面
所成角为
.

⑴求证：
平面
；（5分）

⑵求二面角
的余弦值；（7分）

17、（本小题满分14分）

某公司从一批产品中随机抽出60件进行检测. 下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为.

（1）求图中
的值，并根据频率分布直方图估计这60件抽样产品净重的平均数、众数和中位数；（5分）

（2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至多有2件产品的净重在∪ 14．(－1，1)

三、解答题：本题共6小题，共80分，请在答卷的相应位置作答）

15、（本题满分12分）

解：（1）由
，得

4分

所以函数
的最小正周期为
…………6分

（2）因为
在区间
上为增函数，在区间
上为减函数，…10分

又
，

所以函数
在区间
上的最大值为2，最小值为-1 …………11分

故
。 …………12分

16．（本题满分12分）

解： ⑴证明： 因为
平面
，
面

所以
. ……………………2分

因为
是正方形，所以
，

又
相交且都在面
内，

从而
平面
. ……………………5分

⑵解：因为
两两垂直，

所以建立空间直角坐标系
如图所示.

因为
面
，所以
与平面
所

成角就是
，

已知
与平面
所成角为
，

即
， …………………6分

所以
.

由
可知
，
.

则
，
，
，
，
，

所以
，
， ……………………8分

设平面
的法向量为

，则
，即
，

令
，则

. …………………10分

因为
平面
，所以
为平面
的法向量，
，

所以
. …………………11分

因为二面角为锐角，所以二面角
的余弦值为
.………………12分

17. （本小题满分14分）

解：（1）由频率分布直方图知，
，解得
. …2分

故估计这60件抽样产品净重的平均数为

（克）. ………4分

众数为101. ……………………………………………………………………5分

设中位数为
，则
，解得
. ……………………6分

（2）恰好抽取到3件产品的净重在
的概率为
，

故至多有2件产品的净重在
的概率为
. ……………………9分

（3）这60件抽样产品中，不合格产品有
件，合格产品有
件.

的可能取值为
. …10分

…13分

. ………………………………………14分

18、(本小题满分14分)

解：（1）根据题意可得，当
时，
，代入解析式得：

，所以
； …………4分

（2）因为
，所以该商品每日销售量为：

每日销售该商品所获得的利润为：

，
…………8分

所以

……10分

所以，
的变化情况如下表：

（3，4）

4

（4，6）





+

0

-





递增

极大值42

递减



由上表可得，
是函数在区间（3，6）上的极大值点，也是最大值点；

所以当
时，函数
取得最大值42；

因此，当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。 ……14分

19、（本小题满分14分）

f(x)的定义域为R，f ′(x)＝．

(1)若a＝，则f (x)＝，f ′(x)＝．

令f ′(x)＝0，解得x＝－1或x＝3．…………2分

当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：

x

(－∞，－1)

－1

(－1，3)

3

(3，＋∞)



f ′(x)

＋

0

－

0

＋



f(x)

递增

极大值

递减

极小值

递增



…………4分

∴当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝，当x＝3时，f(x)取得极小值f(3)＝．…6分

(2) 设g(x)＝ax2―2ax―1

①若a＝0，则f (x)＝，f ′(x)=－ <0,f (x)的减区间为 (－∞，＋∞)．

②若a>0，则Δ＝4a2＋4a>0，g(x)＝ax2―2ax―1的两个零点为x1＝1― ，x2＝1＋．

令f ′(x)<0解得x1

③若a<0，

i)当―1≤a<0时，则Δ≤0，g(x)≤0恒成立， f ′(x)≤0恒成立，所以 f (x)的减区间为 (－∞，＋∞)．

ii)当a<―1时，则Δ>0，令f ′(x)<0解得x< x2或x> x1，所以f(x)的减区间为(－∞，x2)和(x1，＋∞) ．

故当a>0时，f (x)的减区间为(x1，x2) ；

当―1≤a≤0时，f (x)的减区间为 (－∞，＋∞)；

当a<―1时, f(x)的减区间为(－∞，x2)和(x1，＋∞) ．

20、（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
．切线方程为
．…….4分

（Ⅱ）当
时，
，其中
，

当
时，
；
时，
，…………6分

∴
是
在
上唯一的极小值点，∴
． …………8分

又

，

综上，所求实数
的取值范围为
. …………10分

（Ⅲ）
等价于

若
时，由（2）知
在
上为增函数，

当
时，令
，则
，故
，

即
，∴
．…….13分

故

即

，即
。…….14分

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