南宁三中、柳铁一中、玉林高中2015～2016学年度上学期高三联考

数学（理）试题

命题人：李春阳 韦国亮 审题人：陈康 2015.9.24

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题.每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如果集合
，集合
则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．己知
．其中i为虚数单位，则
（ ）

A．-1 B．1 C．2 D．-3

3．已知等差数列
满足：
，求
（ ）

A．19 B．20 C．21 D．22

4．设f(x)＝g(x)＝则g(f(π))的值为（ ）

A．1 B．0 C．－1 D．π

5．由曲线y＝
，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为（ ）

A．
B．4 C．
D．6

6．在平面直角坐标系
中，已知
，
，

则
的最小值为（ ）

A．
B．

C．
D．

7．右图是一个算法的流程图，则最后输出的（ ）

A．6 B．-6 C．9 D．-9

8．定义运算



，则函数


的图象是（ ）

9．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球表面积等

于（ ）

A．
B．

C．
D．

10．
的展开式的常数项是（ ）

A． 15 B． -15 C．17 D．-17

11．已知
是双曲线
(
)的左、右焦点，点
关于渐近线的对称点恰好落在以
为圆心，
为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）

A．3 B． C．2 D．

12．函数f(x)=
若关于x的方程
有五个不同的实数解
求
=（ ）

A．3 B．5 C．3a D．5 a

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知向量
，且
，则实数
的值为

14．双曲线
的焦距为

15．设
满足约束条件
,则
的最大值为 ．

16．已知数列
是递减数列，且对任意的正整数
，
恒成立，则实数
的取值范围为 ．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）在△ABC中，
、
、
分别是三个内角A、B、C的对边，已知
=2，

（1）若△ABC的面积S=3，求
；

（2）若△ABC是直角三角形，求
与

18．（本题满分12分） 某校50名学生参加2015年全国数学联赛初赛，成绩全部介于90分到140分之间．将成绩结果按如下方式分成五组：第一组
，第二组
，…，第五组
．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．

（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数；

（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记
为取得第一组成绩的个数，求
的分布列与数学期望．

19．（本题满分12分）如图，已知正四棱柱
中，底面边长
，侧棱
的长为4，过点
作
的垂线交侧棱
于点
，交
于点
．

（1）求证：
⊥平面
；

（2）求二面角
的余弦值。

20．（本题满分12分） 已知椭圆方程
为：
，
椭圆的右焦点为
，离心率为
，直线
：
与椭圆
相交于
、
两点，且

（1）椭圆的方程及求
的面积；

（2）在椭圆上是否存在一点
，使
为平行四边形，若存在，求出
的取值范围，若不存在说明理由.

21．（本题满分12分）已知二次函数
对
都满足
且
，设函数
（
，
）．

（Ⅰ）求
的表达式；

（Ⅱ）若
，使
成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）设
，
，求证：对于

恒有

请考生从第22、23、24题中选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）.如图，在
中，
是
的角平分线，
的外接圆交
于点
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）当
，
时，求
的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，点O(0,0)， B．

（1）求以
为直径的圆
的直角坐标方程；

（2）若直线
的极坐标方程为
，判断直线
与圆
的位置关系．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数

（1）求不等式
的解集；

（2）若关于
的不等式
在
上无解，求实数
的取值范围．

高三联考（理）试题 答案

1． B

2． D 试题分析：由已知得
，根据复数相等的条件得
，故
．

3． C 试题分析：由等差数列的求公差的变通公式知：
，所以
，

选C

4． A

5． C 试题分析：根据题意，作出图形（阴影部分），联立
，

得
，
，
,

则所求阴影部分的面积为
．

6． B 解析：由已知得点
在圆
上，点
在直线
上，故
表示
的点和直线
上点的距离平方，而距离的最小值为
，故
的最小值为
．

7． D 8． A

9． C 解析：由题意可知该几何体的直观图如下图所示，

可知该几何体的外接球
，故选C．

10． C

11． C 解析：设F2关于渐近线对称点为P, F2P的中点为M，显然M在渐近线上，连PF1,OP

则

点F2到渐近线的距离

12． B 解析:由2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0得f(x)=
或f(x)=a.由已知画出函数f(x)的大致图象,结合图象不难得知,要使关于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解,即要使函数y=f(x)的图象与直线y=
、y=a共有五个不同的交点,结合图象分析不难得出,
=5,故选B

13． -2

14． 8

15．
试题分析：不等式组表示的平面区域如图阴影所示，
表示的几何意义是点
到
距离，由图可知，点
到原点的距离最远，
，得
，

16．
试题分析：
是递减数列，
恒成立

即
对于n∈N*恒成立．而
在
时取得最小值3，
，

17．试题解析：（1）∵
，∴
∵
，∴

∴
…………………………6分

（2）若B=90o，则
，
；

若C=90o，则
，
……………………12分

18．（1）
人；（2）
.

解析：（1）由频率分布直方图知，成绩在
内的人数为：

（人） 所以该班成绩良好的人数为27人．………………6分

（2）解：由题意

0

1

2















的分布列为

的期望为
…………………………12分

19．（1）见解析（2）

解析：（1）连接AC，因为
是正四棱柱，

所以
……………………3分

同理可得

又因为
,所以
平面
． ……………………6分

（2）解法一：以DA、DC、
分别为
轴，建立直角坐标系，设
则

，由

设面DBE的法向量为
.由

由

令
得：

设平面
的法向量为
.由
，由

令
得：
设
与
所成的角为
，

则值

由题意：二面角
为锐角，
二面角
的余弦值为
……………12分

解法二：连AC交BD于O，可证
是二面角
的平面角

二面角
的余弦值为
…………………………12分

20．解析：（1）由已知

椭圆方程为：
…………………………3分

设
，
，则
,
的坐标满足

消去
化简得，


，

，
得

=
。

，
，即

即

=

。O到直线
的距离

=

=
=
. ……………………7分

（2）若存在平行四边形
使
在椭圆上，则
，设
，

则
，

由于
在椭圆上，所以
，从而化简得

化简得
①， 由
，知
②

联立方程①②知
，故不存在
在椭圆上的平行四边形. …………………12分

21．解：（Ⅰ）设
，于是

所以
又
，则
．所以
． …………3分

（Ⅱ）

当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；…………4分

当m=0时，
对
，
恒成立； …………5分

当m<0时，由
，列表：

x











－

0

＋





减

极小

增