柳州铁一中学高2013级高三数学第三次月考数学试题(理科)

第I卷(选择题，共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.已知
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.
为虚数单位，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是 （ ）

A.所有不能被2整除的数都是偶数 B．所有能被2整除的数都不是偶数

C.存在一个能被2整除的数不是偶数 D．存在一个不能被2整除的数是偶数

4.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为 （ ）

A.
B．
C.
D.

5.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的

函数是

A.
B．

C.
D.

6.由直线
与曲线
所围成的封闭图形的面积为 （ ）

A.
B.
C.1 D.

7．设圆锥曲线
的两个焦点分别为
，若曲线
上存在点
满足
=4:3:2，则曲线
的离心率等于 （ ）

A.
或2 B.
C.
2 D．

8．在
中，
，则
的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.

9．对于函数
(其中，
)，选取
的一组值计算
和
，所得出的正确结果一定不可能是 （ ）

A.4和6 B.3和1 C.2和4 D．1和2

10．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是
的重心，动点P满足

，则点
一定为
的 （ ）

A.重心 B．AB边中线的中点

C.AB边中线的三等分点（非重心） D．AB边的中点

11.已知函数
满足
，当
时，
，若在区间
上方程
有两个不同的实根，则实数
的取值范围是 （ ）

A.
B．
C.
D．

12.某食品厂制作了
种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐
种卡片可获奖，现购买该种食品
袋，能获奖的概率为 （ ）

A．
B．
C．
D．
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第Ⅱ卷高非选择题（共90分）.考.资.源.网

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值为　　　　．

14.
展开式中所有项的系数的和为 　　　　．

15.设
是等比数列，公比
，
为
的前
项和．记
，
，设
为数列
的最大项，则
　　　　．

16.正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长

为a的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比

是一个最简分数
,那么积m·n是　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知等比数列
的公比
，前3项和
．

(Ⅰ) 求数列
的通项公式；

(Ⅱ) 若函数
在
处取得最大值，且最大值为
，求函数
的解析式．

18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

先在甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为
，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为
，每命中一次得2分，没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次击。

（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；

（Ⅱ）求该射手的总得分
的分布列及数学期望
.

19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，
为棱
上的一点，平面
平面
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）求二面角
的大小 .

20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

椭圆有两顶点
，
，过其焦点
的直线
与椭圆交于
两点，并与
轴交于点
，直线
与直线
交于点
．

（Ⅰ）当
时，求直线
的方程；

（Ⅱ）当点
异于
两点时，求证：
为定值．

21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

（Ⅰ）已知函数
，
，求函数
的最大值；

（Ⅱ）设

…，
均为正数，证明：

（1）若
…


…
，则
；

（2）若
…
=1，则





…+
。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲

如图，
是⊙
的一条切线，切点为
，

都是⊙
的割线，

（1）证明：
;

（2）证明：
∥
.

23．（本小题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系
有相同的长度单位，以原点为极点，以
轴正半轴为极轴，曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
（
为参数，
），射线
与曲线
交于（不包括极点O）三点

（1）求证：
；

（2）当
时，B，C两点在曲线
上，求
与
的值．

24．（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲

已知函数

（1）解不等式
；

（2）对任意
，都有

成立，求实数
的取值范围.

柳州铁一中学高2013级高三数学理科十月月考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

C

C

B

A

B

B

D

C

A

A



二、填空题

13．2 14．2 15．4 16．6

三、解答题

17．解：(Ⅰ)由
得
，所以
；

(Ⅱ)由(Ⅰ)得
，因为函数
最大值为3，所以
，

又当
时函数
取得最大值，所以
，因为
，故
，

所以函数
的解析式为
。

解：（Ⅰ）记“该射手恰好命中一次”为事件
，“该射手射击甲靶命中”为事件

“该射手第一次射击命中乙靶”为事件
，“该射手第二次射击命中乙靶”为事件

由题意知
，

（Ⅱ）由题意知
所有可能取值为0,1,2,3,4,5

,
,

,

,

,

故
的分布列为

0

1

2

3

4

5





















解：

20.解：（Ⅰ）因椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为
，

由已知得
，
，所以
，则椭圆方程为
．

直线l垂直于x轴时与题意不符．

设直线l的方程为
，联立
得
，

设
，
，则
，

，
，

．

由已知得
，解得
，

所以直线l的方程为
或
．

（Ⅱ）直线l垂直于x轴时与题意不符．

设直线l的方程为
（
且
），所以P点的坐标为
．

设
，
，由（Ⅰ）知
，
，

直线AC的方程为：
，直线BD的方程为：
，

联立方程
设
，

解得
，

不妨设
，则

，

因此Q点的坐标为
，又
，∴
．

故
为定值．

21.解：（Ⅰ）
的定义域为
，令
，

在
上递增，在
上递减，故函数
在
处取得最大值

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知当
时有
即
，

∵
，∴

∵
∴
即

（2）①先证
，令
，则

由（1）知

∴
；

②再证



…+
，记

则
于是由（1）得

所以



…+
。综合①②，（2）得证

22.（10分）（1）证明：因为
是
的一条切线，
为割线

所以
，