郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.设复数
满足
（其中
为虚数单位），则
的模为（ ）

A．1 B．
C．
D．3

3.下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递减的是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.已知某三角函数的部分图象如图1所示，则它的解析式可能是（ ）

A．
　 B．

C.
D．

5.某程序框图如图2所示，若
，
，
，
，
.则该程序运行后输出的值为（ ）

A．1 B．0 C.-1 D．2

6.在等差数列
中，
，
.设
，则数列
的前100项之和
为（ ）

A．-200 B．-100 C.200 D．100

7.已知一正方体截去两个三棱锥后，所得几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积为（ ）

A．8 B．7 C.
D．

8.已知约束条件
表示面积为1的直角三角形区域，则实数
的值为（ ）

A．0 B．1 C.1或3 D．3

9.如图4，
中的阴影部分是由曲线
与直线
所围成，向
内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）

A．
B．
C.
D．

10.已知椭圆
的左焦点
关于直线
的对称点
在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）

A．
B．
C.
D．

11.已知
是单位圆
上的两点（
为圆心），
，点
是线段
上不与
重合的动点.
是圆
的一条直径，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C.
D．

12.若函数
在区间
上，对
，
，
，
为一个三角形的三边长，则称函数
为“三角形函数”.已知函数
在区间
上是“三角形函数”，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C.
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知
，则使
成立的
值是____________.

14.已知
展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是___________.

15.已知
，则
___________.

16.设
，
分别为等差数列
，
的前
项和，且
.设点
是直线
外一点，点
是直线
上一点，且
，则实数
的值为__________.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）

设集合
，集合
.已知命题
，命题
，且命题
是命题
的必要不充分条件，求实数
的取值范围.

18. （本小题满分12分）

已知函数
.

（I）求函数
的最小正周期及单调递增区间；

（II）求函数
在区间
的最大值及所对应的
值.

19. （本小题满分12分）

已知数列
的首项
，且
.

（I）证明：数列
是等比数列.

（II）设
，求数列
的前
项和
.

20. （本小题满分12分）

在
中，
，
，
分别为角
，
，
所对的边，
为
的面积，且
．

（I）求角
的大小；

（II）若
，
，
为
的中点，且
，求
的值．

21. （本小题满分12分）

已知函数
，
，其中
且
，
．

（I）若
，且
时，
的最小值是－2,求实数
的值；

（II）若
，且
时，有
恒成立，求实数
的取值范围.

22.（本小题满分12分）

已知函数
，其中
.

（I）讨论函数
的单调性；

（II）若
，证明：对任意

，总有
.

郴州市2017届高三第一次教学质量监测试卷

数学（理科）参考答案及评分细则

一、选择题

1-5:CABCA 6-10:DBBDC 11、12：AD

二、填空题

13.-4或2 14. 60 15.
16.

三、解答题

17.解：由已知得
，………………2分

.………………4分

∵
是
的必要不充分条件，

∴
.………………6分

则有
.………………8分

∴
，故
的取值范围为
.………………10分

18.解：（I）由已知得
………………2分

.………………3分

∴函数
的最小正周期
.………………4分

由
，………………5分

得
，

∴函数
的单调增区间为
.………………6分

（II）当
，则
，………………7分

∴
.………………9分

∴
.………………4分

又
，∴
，………………5分

所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列.………………6分

（II）解：由（I）知，
，

即
.………………8分

∴
.………………9分

于是
，①

，②

由①-②得，
，………………11分

即
，

∴数列
的前
项和
.………………12分

20.解：（I）由已知得
，…………………1分

∴
.………………2分

即
.………………3分

∴
.………………4分

又∵
，
，………………6分

（II）由
得：

，又∵
为
的中点，∴
，
，

∴
，即
.………………8分

又∵
，

∴
.………………9分

又∵
，∴
，
，………………10分

∴
.………………12分

21.解：（I）∵
，

∴

，………………2分

易证
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，

∴
，
，………………3分

∴当
时，
，由
，解得
（舍去）………………4分

当
时，
，由
，解得
.………………5分

综上知实数
的值是
.………………6分

（II）∵
恒成立，即
恒成立，

∴
.………………7分

又∵
，
，∴
，………………8分

∴恒成立，………………9分

∴
.………………10分

令
，

∴
.………………11分

故实数
的取值范围为
.…………………12分

22.解：（I）∵
，
，………………2分

令
，得
或
.………………3分

①若
，则
时，
；

时，
；

时，
，

故函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减.………………4分

②若
时，则
在
上单调递增.………………5分

③若
时，则
在
，
上单调递增，在
上单调递减.………………6