衡阳八中2017届高三年级第一次质检试卷

理数（试题卷）

注意事项：

1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第一次质检试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。…

★预祝考生考试顺利★

第I卷 选择题（每题5分，共60分）

本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.设集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x+1＞0}，则集合A∩B等于（ ）

A．{x|﹣2≤x≤﹣1} B．{x|﹣2≤x＜﹣1}

C．{x|﹣1＜x≤3} D．{x|1＜x≤3}

2.复数
满足
，则在复平面内，复数
对应的点位于（ ）

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

3.春节前，某市一过江大桥上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的6秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以6秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过3秒的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.已知
，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ）

A．4 B．﹣4 C．
D．

5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则S9=（ ）

A．36 B．72 C．144 D．70

6.已知函数f（x）=3cos（
﹣ωx）（ω＞0），函数f（x）相邻两个零点之间的绝对值为
，则下列为函数f（x）的单调递减区间的是（ ）

A．[0，
]B．[
，π]C．[
，
]D．[
，
]

7.设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，
]B．[
]C．[
]D．[
，+∞）

8.已知高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（ ）

A．
B．
C．
D．

9.已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.如图所示的程序框图，若执行后的结果是
，则在①处应填写的是（ ）

A．i≤3？ B．i≤4？ C．i≤5？ D．i≤6？

11.已知偶函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}，f（x）=
，则函数
的零点个数为（ ）

A．12 B．10 C．8 D．6

12.对于曲线C所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角θ，使得θ≥∠AOB对于曲线C上的任意两个不同点A、B恒成立，则称θ为曲线C相对于O的“界角”，并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确界角”，已知曲线M：y=
，（其中e为自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线M相对于O的“确界角”为（ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷 非选择题（共90分）

二.填空题（每题5分，共20分）

13.若命题“存在x∈R，使得2x2﹣3ax+9＜0成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ．

14.已知变量
，
满足约束条件
，则
的最大值是 ．

15.已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是___________．

①若m∥β，n∥β，m、n
α，则α∥β .

②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n
γ，则m⊥n .

③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β .

④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n .

16.已知椭圆
，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若
= ．

三.解答题（共8题，共70分）

17.(本题满分12分)

数列{an}是首项a1=4的等比数列，sn为其前n项和，且S3，S2，S4成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若bn=log2|an|，设Tn为数列{
}的前n项和，求证Tn＜
．

18.（本题满分12分）

从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）；第二组[160，165）；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．

（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；

（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；

（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率．

19.（本题满分12分）

已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．

（Ⅰ）求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；

（Ⅱ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．

20.（本题满分12分）

如图：A，B，C是椭圆
的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，原点O到直线CF的距离为
，且椭圆过点
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，问是否存在实数λ，使得
成立，若存在求出λ的值，若不存在，请说明理由．

21.（本题满分12分）

已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）?ex的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n．

（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；

（2）求证：m＜n；

（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足
=
（t﹣1）2；又若方程
=
（t﹣1）2；在（﹣2，t）上有唯一解，请确定t的取值范围．

22.（本题满分10分）

已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是
（t是参数）

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=
，求直线的倾斜角α的值．

衡阳八中2017届高三年级第一次质检参考答案数学

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

B

C

B

C

A

C

D

B

A

B



13.[﹣2
，2
]

14.9

15.②④

16.

17.

（I）设等比数列{an}的公比为q．

当q=1时，S3=12，S2=8，S4=16，不成等差数列

∴q≠1，

2S2=S3+S4，

∴
，

即q4+q3﹣2q2=0．∵q≠0，q≠1，∴q=﹣2，

∴an=4（﹣2）n﹣1=（﹣2）n+1

（Ⅱ）bn=log2|an|=log2|（﹣2）n+1|=n+1，

∴

∴
，

∴
．

18.

（1）由频率分布直方图得：

前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，

后三组频率为1﹣0.82=0.18，人数为0.18×50=9，

∴这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为800×0.18=144．

（2）由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2，

设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m，

又m+2=2（7﹣m），解得m=4，所以第六组人数为4，

第七组人数为3，频率分别等于0.08，0.06.
分别等于0.016，0.012．其完整的频率分布直方图如图．

（3）由（2）知身高在[180，185）内的人数为4，设为a、b、c、d，

身高在[190，195]内的人数为2，设为A、B，若x，y∈[180，185）时，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种情况；

若x，y∈[190，195]时，有AB共1种情况；

若x，y分别在[180，185）和[190，195]内时，有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB，共8种情况．

所以基本事件总数为6+1+8=15，

事件“|x﹣y|≤5”所包含的基本事件个数有6+1=7，

∴P（|x﹣y|≤5）=
．

19.

（Ⅰ）①证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，

平面PAB