湖北省黄石市2017届高三9月份调研考试

理科数学试题卷

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知向量
且
，则
（ ）

A．3 B．-3 C．
D．

3.若复数
满足
，则
的共轭复数
（ ）

A．
B．
C．
D．

4.已知函数
，若
，则实数
等于（ ）

A．
B．
C．2 D．9

5.下图的程序框图所描述的算法称为欧几里德辗转相除法．若输入
，则输出的
的值为（ ）

A．0 B．11 C．22 D．88

6.过抛物线
的焦点
的直线
与抛物线交于
两点，若
两点的横坐标之和为
，则
（ ）

A．
B．
C．5 D．

7.将函数
的图象向右移动
个单位长度，所得的部分图象如图所示，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.一物体在变为
（
的单位：
的单位：
）的作用下，沿与力
成30°的方向作直线运动，则由
运动到
时力
所做的功为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00---7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30---7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

10.圆
和圆
恰有三条公切线，若
，且
，则
的最小值为（ ）

A．1 B．3 C．
D．

11.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
，若
成立，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13.已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
___________．

14.已知变量
满足约束条件
，则
的最大值为__________．

15.在
中，角
所对的边分别为
．若
，
的面积
，则
的值为_____________．

16.将三项式
展开，当
时，得到如下左图所示的展开式，右图所示的广义杨辉三角形：

第0行 1

第1行 1 1 1

第2行 1 2 3 2 1

第3行 1 3 6 7 6 3 1

第4行 1 4 10 16 19 16 10 4 1

……

观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第
行共有
个数．若在
的展开式中，
项的系数为75，则实数
的值为___________．

三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

数列
的前
项和
满足
，且
成等差数列．　

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前
项和
．

18.（本小题满分12分）

近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年“618”期间，某购物平台的销售业绩高达516亿元人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．

（1）选完成关于商品和服务评价的
列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量
：

①求对商品和服务全为好评的次数
的分布列；

②求
的数学期望和方差．

附临界值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828




的观测值：
（其中
）关于商品和服务评价的
列联表：

对服务好评

对服务不满意

合计



对商品好评

80







对商品不满意



10





合计





200



19.（本小题满分12分）

如图，正方形
的边长为2，
分别为线段
的中点，在五棱锥
中，
为棱
的中点，平面
与棱
分别交于点
．

（1）求证：
；

（2）若
底面
，且
，求直线
与平面
所成角的大小．　

20.（本小题满分12分）

已知椭圆
过点
两点．

（1）求椭圆
的方程及离心率；

（2）设
为第三象限内一点且在椭圆
上，直线
与
轴交于点
，直线
与
轴交于点
，求证：四边形
的面积为定值．

21.（本题满分12分）

设函数
．

（1）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
的单调递减区间和极小值（其中
为自然对数的底数）；

（2）若对任何
恒成立，求
的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，已知
与
相切，
为切点，过点
的割线交圆于
两点，弦
相交于点
为
上一点，且
．

（1）求证：
；

（2）若
，求
的长．

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆
的极坐标方程为
．

（1）求
的参数方程；

（2）设点
在
上，
在
处的切线与直线
垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定
的坐标．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．（1）解不等式
；（2）若不等式
的解集不是空集，求实数
的取值范围．

参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

A

C

B

D

A

C

D

A

A

B



二、填空题

13. 0.3 14. 1 15.
16. 2

三、解答题

17.解：（1）由已知
，有
，即
，即数列
是以2为公比的等比数列，又
成等差数列，即：
，

∴

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

18.解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的
列联表如下：

对服务好评

对服务不满意

合计



对商品好评

80

40

120



对商品不满意

70

10

80



合计

150

50

200




，

故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．　6分

（2）①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为
，且
的取值可以是0，1，2，3．

其中

，

的分布列为：

0

1

2

3















②由于
，则
．．．．．．．．．．．．．．12分

19.解：（1）证明：在正方形
中，因为
是
的中点，所以
．

又因为
平面
，所以
平面
．

因为
平面
，且平面
平面
，

所以
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）因为
底面
，所以
，如图建立空间直角坐标系
，则
，
，
．

设平面
的法向量为
，

则
，即
，

令
，则
，所以
．

设直线
与平面
所成角为
，

则
，

因此直线
与平面
所成角的大小为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20.解：（1）由题意得，
，

所以椭圆
的方程为
，

又
,

所以离心率
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）设
，则
，

又
，所以直线
的方程为
，

令
，得